Theorem hfstructwe 46232

Description: The relation <_HFStruct is a well ordering of the class of HFStructs. (Contributed by Eric Schmidt, 24-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfstructwe	⊢ <HFStruct We HFStruct

Proof of Theorem hfstructwe

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfstructhf 46226	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ HFStruct → (ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
2		ackbij3 46218	. . . . . . 7 ⊢ ackBij: HF ⟶1-1ontoω
3		f1of 6843	. . . . . . 7 ⊢ (ackBij: HF ⟶1-1ontoω → ackBij: HF ⟶ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ackBij: HF ⟶ω
5	4	ffvelcdmi 7104	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF → (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) ∈ ω)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ HFStruct → (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) ∈ ω)
7	6	rgen 3082	. . 3 ⊢ ∀ℎ ∈ HFStruct (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) ∈ ω
8		hfstructhf 46226	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ HFStruct → (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )
9		f1of1 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (ackBij: HF ⟶1-1ontoω → ackBij: HF ⟶1-1ω)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ackBij: HF ⟶1-1ω
11		f1veqaeq 7280	. . . . . . 7 ⊢ ((ackBij: HF ⟶1-1ω ∧ ((ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF )) → ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → (ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))))
12	10, 11	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (((ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ∧ (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω)) ∈ HF ) → ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → (ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))))
13	1, 8, 12	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ HFStruct ∧ 𝑓 ∈ HFStruct) → ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → (ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))))
14		hfstructcan 46227	. . . . 5 ⊢ ((ℎ ∈ HFStruct ∧ 𝑓 ∈ HFStruct) → ((ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω)) ↔ ℎ = 𝑓))
15	13, 14	sylibd 242	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∈ HFStruct ∧ 𝑓 ∈ HFStruct) → ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → ℎ = 𝑓))
16	15	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀ℎ ∈ HFStruct ∀𝑓 ∈ HFStruct ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → ℎ = 𝑓)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω)))) = (ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))))
18		coeq1 5840	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝑓 ∘ (♯ ↾ ω)))
19	18	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))))
20	17, 19	f1mpt 7285	. . 3 ⊢ ((ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω)))):HFStruct⟶1-1ω ↔ (∀ℎ ∈ HFStruct (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) ∈ ω ∧ ∀ℎ ∈ HFStruct ∀𝑓 ∈ HFStruct ((ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))) = (ackBij‘(𝑓 ∘ (♯ ↾ ω))) → ℎ = 𝑓)))
21	7, 16, 20	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω)))):HFStruct⟶1-1ω
22		ordom 7908	. . 3 ⊢ Ord ω
23		ordwe 6390	. . 3 ⊢ (Ord ω → E We ω)
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ E We ω
25		df-lthfstruct 46231	. . 3 ⊢ <HFStruct = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))))‘𝑓) E ((ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω))))‘𝑔)}
26	25	f1we 7383	. 2 ⊢ ((ℎ ∈ HFStruct ↦ (ackBij‘(ℎ ∘ (♯ ↾ ω)))):HFStruct⟶1-1ω → ( E We ω → <HFStruct We HFStruct))
27	21, 24, 26	mp2 9	1 ⊢ <HFStruct We HFStruct

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ↦ cmpt 5189   E cep 5554   We wwe 5607   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Ord word 6376  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  ωcom 7898   HF chf 9928  ♯chash 14498  ackBijcackbij 46216  HFStructchfstruct 46219   <_HFStruct clthfstruct 46230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-r1 9792  df-rank 9793  df-hf 9929  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-struct 17351  df-ackbij 46217  df-hfstruct 46220  df-lthfstruct 46231

This theorem is used by: (None)