Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilip 40444
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilip.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilip.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilip.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilip.p , = (π‘₯ ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hlhilip (πœ‘ β†’ , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.p . . . 4 , = (π‘₯ ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))
2 hlhilip.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
32fvexi 6861 . . . . 5 𝑉 ∈ V
43, 3mpoex 8017 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘₯)) ∈ V
51, 4eqeltri 2834 . . 3 , ∈ V
6 eqid 2737 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩})
76phlip 17239 . . 3 ( , ∈ V β†’ , = (Β·π‘–β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩})))
85, 7ax-mp 5 . 2 , = (Β·π‘–β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩}))
9 hlhilip.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 hlhilip.u . . . 4 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 hlhilip.l . . . 4 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2737 . . . 4 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
13 eqid 2737 . . . 4 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2737 . . . 4 ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2737 . . . 4 (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩) = (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)
16 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
17 hlhilip.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 hlhilip.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
199, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18hlhilset 40426 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩}))
2019fveq2d 6851 . 2 (πœ‘ β†’ (Β·π‘–β€˜π‘ˆ) = (Β·π‘–β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‰βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), , ⟩})))
218, 20eqtr4id 2796 1 (πœ‘ β†’ , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913  {cpr 4593  {ctp 4595  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  *π‘Ÿcstv 17142  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  Β·π‘–cip 17145  HLchlt 37841  LHypclh 38476  EDRingcedring 39245  DVecHcdvh 39570  HDMapchdma 40284  HGMapchg 40375  HLHilchlh 40424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-hlhil 40425
This theorem is referenced by:  hlhilipval  40445
  Copyright terms: Public domain W3C validator