Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilip 41664
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilip.p , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilip (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.p . . . 4 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
2 hlhilip.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝐿)
32fvexi 6907 . . . . 5 𝑉 ∈ V
43, 3mpoex 8085 . . . 4 (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) ∈ V
51, 4eqeltri 2822 . . 3 , ∈ V
6 eqid 2726 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
76phlip 17360 . . 3 ( , ∈ V → , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
85, 7ax-mp 5 . 2 , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
9 hlhilip.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 hlhilip.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
11 hlhilip.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2726 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
13 eqid 2726 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2726 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2726 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
16 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
17 hlhilip.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18 hlhilip.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
199, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18hlhilset 41646 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
2019fveq2d 6897 . 2 (𝜑 → (·𝑖𝑈) = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
218, 20eqtr4id 2785 1 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cun 3944  {cpr 4625  {ctp 4627  cop 4629  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418   sSet csts 17160  ndxcnx 17190  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  *𝑟cstv 17263  Scalarcsca 17264   ·𝑠 cvsca 17265  ·𝑖cip 17266  HLchlt 39061  LHypclh 39696  EDRingcedring 40465  DVecHcdvh 40790  HDMapchdma 41504  HGMapchg 41595  HLHilchlh 41644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-hlhil 41645
This theorem is referenced by:  hlhilipval  41665
  Copyright terms: Public domain W3C validator