Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilip 37969
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilip.p , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilip (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilip.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilip.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hlhilip.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐿)
5 eqid 2799 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
6 eqid 2799 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2799 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2799 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
9 eqid 2799 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
10 hlhilip.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hlhilip.p . . . 4 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
12 hlhilip.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 37955 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
1413fveq2d 6415 . 2 (𝜑 → (·𝑖𝑈) = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
154fvexi 6425 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1615, 15mpt2ex 7483 . . . 4 (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) ∈ V
1711, 16eqeltri 2874 . . 3 , ∈ V
18 eqid 2799 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
1918phlip 16360 . . 3 ( , ∈ V → , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
2017, 19ax-mp 5 . 2 , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
2114, 20syl6reqr 2852 1 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  cun 3767  {cpr 4370  {ctp 4372  cop 4374  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  *𝑟cstv 16269  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  ·𝑖cip 16272  HLchlt 35371  LHypclh 36005  EDRingcedring 36774  DVecHcdvh 37099  HDMapchdma 37813  HGMapchg 37904  HLHilchlh 37953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-hlhil 37954
This theorem is referenced by:  hlhilipval  37970
  Copyright terms: Public domain W3C validator