Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilip 39216
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilip.p , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilip (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilip.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilip.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hlhilip.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐿)
5 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
6 eqid 2824 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2824 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2824 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
9 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
10 hlhilip.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hlhilip.p . . . 4 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
12 hlhilip.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 39202 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
1413fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (·𝑖𝑈) = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
154fvexi 6677 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1615, 15mpoex 7775 . . . 4 (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) ∈ V
1711, 16eqeltri 2912 . . 3 , ∈ V
18 eqid 2824 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
1918phlip 16660 . . 3 ( , ∈ V → , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
2017, 19ax-mp 5 . 2 , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
2114, 20syl6reqr 2878 1 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cun 3917  {cpr 4552  {ctp 4554  cop 4556  cfv 6345  (class class class)co 7151  cmpo 7153  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  *𝑟cstv 16569  Scalarcsca 16570   ·𝑠 cvsca 16571  ·𝑖cip 16572  HLchlt 36618  LHypclh 37252  EDRingcedring 38021  DVecHcdvh 38346  HDMapchdma 39060  HGMapchg 39151  HLHilchlh 39200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-hlhil 39201
This theorem is referenced by:  hlhilipval  39217
  Copyright terms: Public domain W3C validator