Theorem hlhilip 41858

Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.p	⊢ , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
hlhilip	⊢ (𝜑 → , = (·𝑖‘𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.p	. . . 4 ⊢ , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
2		hlhilip.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
3	2	fvexi 6933	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3, 3	mpoex 8116	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ , ∈ V
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
7	6	phlip 17405	. . 3 ⊢ ( , ∈ V → , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ , = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
9		hlhilip.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		hlhilip.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
11		hlhilip.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
16		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
17		hlhilip.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hlhilip.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	9, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18	hlhilset 41840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
20	19	fveq2d 6923	. 2 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})))
21	8, 20	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝜑 → , = (·𝑖‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482   ∪ cun 3968  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   ∈ cmpo 7447   sSet csts 17205  ndxcnx 17235  Basecbs 17253  +_gcplusg 17306  *_𝑟cstv 17308  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  ·_𝑖cip 17311  HLchlt 39255  LHypclh 39890  EDRingcedring 40659  DVecHcdvh 40984  HDMapchdma 41698  HGMapchg 41789  HLHilchlh 41838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-hlhil 41839

This theorem is referenced by:  hlhilipval  41859