Theorem hlhilvsca 42689

Description: The scalar product for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilvsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilvsca.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilvsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐿)
hlhilvsca.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilvsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhilvsca	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilvsca.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐿)
2	1	fvexi 6895	. . 3 ⊢ · ∈ V
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
4	3	phlvsca 17402	. . 3 ⊢ ( · ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6		hlhilvsca.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilvsca.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilvsca.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16		hlhilvsca.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 16	hlhilset 42676	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
18	17	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	5, 18	eqtr4id 2815	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   sSet csts 17222  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  *_𝑟cstv 17311  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  ·_𝑖cip 17314  HLchlt 40092  LHypclh 40726  EDRingcedring 41495  DVecHcdvh 41820  HDMapchdma 42534  HGMapchg 42625  HLHilchlh 42674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-hlhil 42675

This theorem is referenced by:  hlhillvec  42693  hlhilphllem  42701