Theorem hlhilipval 41337

Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
hlhilip.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hlhilip.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilipval	⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
2		hlhilip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hlhilip.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilip.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
5		hlhilip.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilip.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilip.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlhilip 41336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖‘𝑈))
10	1, 9	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)))
11	10	oveqd 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌))
12		hlhilip.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		hlhilip.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑋))
15		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑌))
16	15	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
17		fvex 6898	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ V
18	14, 16, 8, 17	ovmpo 7564	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
19	12, 13, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
20	11, 19	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  ·_𝑖cip 17211  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  HDMapchdma 41176  HLHilchlh 41316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-hlhil 41317

This theorem is referenced by:  hlhilocv  41345  hlhilphllem  41347