Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilipval 39551
 Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilip.i , = (·𝑖𝑈)
hlhilip.x (𝜑𝑋𝑉)
hlhilip.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlhilipval (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.i . . . 4 , = (·𝑖𝑈)
2 hlhilip.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 hlhilip.l . . . . 5 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hlhilip.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐿)
5 hlhilip.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6 hlhilip.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7 hlhilip.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlhilip 39550 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖𝑈))
101, 9eqtr4id 2812 . . 3 (𝜑, = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥)))
1110oveqd 7172 . 2 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))𝑌))
12 hlhilip.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
13 hlhilip.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
14 fveq2 6662 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆𝑦)‘𝑥) = ((𝑆𝑦)‘𝑋))
15 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑌))
1615fveq1d 6664 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆𝑦)‘𝑋) = ((𝑆𝑌)‘𝑋))
17 fvex 6675 . . . 4 ((𝑆𝑌)‘𝑋) ∈ V
1814, 16, 8, 17ovmpo 7310 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆𝑌)‘𝑋))
1912, 13, 18syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝑆𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆𝑌)‘𝑋))
2011, 19eqtrd 2793 1 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆𝑌)‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  Basecbs 16546  ·𝑖cip 16633  HLchlt 36952  LHypclh 37586  DVecHcdvh 38680  HDMapchdma 39394  HLHilchlh 39534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-plusg 16641  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-hlhil 39535 This theorem is referenced by:  hlhilocv  39559  hlhilphllem  39561
 Copyright terms: Public domain W3C validator