Theorem hlhilipval 42121

Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
hlhilip.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hlhilip.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilipval	⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
2		hlhilip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hlhilip.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilip.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
5		hlhilip.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilip.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilip.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlhilip 42120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖‘𝑈))
10	1, 9	eqtr4id 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)))
11	10	oveqd 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌))
12		hlhilip.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		hlhilip.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑋))
15		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑌))
16	15	fveq1d 6833	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
17		fvex 6844	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ V
18	14, 16, 8, 17	ovmpo 7515	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
19	12, 13, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
20	11, 19	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  Basecbs 17127  ·_𝑖cip 17173  HLchlt 39522  LHypclh 40156  DVecHcdvh 41250  HDMapchdma 41964  HLHilchlh 42104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-hlhil 42105

This theorem is referenced by:  hlhilocv  42129  hlhilphllem  42131