Theorem hlhilipval 42986

Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
hlhilip.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hlhilip.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilipval	⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
2		hlhilip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hlhilip.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilip.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
5		hlhilip.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilip.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilip.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlhilip 42985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖‘𝑈))
10	1, 9	eqtr4id 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)))
11	10	oveqd 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌))
12		hlhilip.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		hlhilip.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑋))
15		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑌))
16	15	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
17		fvex 6896	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ V
18	14, 16, 8, 17	ovmpo 7578	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
19	12, 13, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
20	11, 19	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  Basecbs 17380  ·_𝑖cip 17426  HLchlt 40387  LHypclh 41021  DVecHcdvh 42115  HDMapchdma 42829  HLHilchlh 42969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-hlhil 42970

This theorem is used by:  hlhilocv  42994  hlhilphllem  42996