Theorem hlhilipval 39894

Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
hlhilip.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hlhilip.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilipval	⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
2		hlhilip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hlhilip.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilip.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
5		hlhilip.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilip.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilip.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlhilip 39893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖‘𝑈))
10	1, 9	eqtr4id 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)))
11	10	oveqd 7272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌))
12		hlhilip.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		hlhilip.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑋))
15		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑌))
16	15	fveq1d 6758	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
17		fvex 6769	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ V
18	14, 16, 8, 17	ovmpo 7411	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
19	12, 13, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
20	11, 19	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  ·_𝑖cip 16893  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  HDMapchdma 39733  HLHilchlh 39873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-hlhil 39874

This theorem is referenced by:  hlhilocv  39902  hlhilphllem  39904