Theorem hlhilipval 43272

Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilip.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilip.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilip.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilip.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilip.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
hlhilip.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hlhilip.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilipval	⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilipval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilip.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑈)
2		hlhilip.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hlhilip.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilip.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
5		hlhilip.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilip.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilip.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlhilip 43271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)) = (·𝑖‘𝑈))
10	1, 9	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥)))
11	10	oveqd 7468	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌))
12		hlhilip.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		hlhilip.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑋))
15		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑌))
16	15	fveq1d 6918	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
17		fvex 6929	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ V
18	14, 16, 8, 17	ovmpo 7612	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
19	12, 13, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑦)‘𝑥))𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))
20	11, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) = ((𝑆‘𝑌)‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  Basecbs 17431  ·_𝑖cip 17477  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  HDMapchdma 43115  HLHilchlh 43255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-hlhil 43256

This theorem is used by:  hlhilocv  43280  hlhilphllem  43282