Theorem hlhilocv 42541

Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilocv	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhil0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhil0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		hlhil0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilocv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
6	1, 2, 3, 4, 5	hlhilbase 42520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑈))
7		rabeq 3427	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	3	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
12		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13		hlhilocv.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	13	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑉)
16	1, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15	hlhilipval 42533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
20	1, 4, 17, 2, 18, 3, 19	hlhils0 42529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
21	20	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
22	21	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
23	16, 22	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
24	23	ralbidva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
25	24	rabbidva 3419	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
26	8, 25	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
27	13, 6	sseqtrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30		hlhilocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
31	28, 11, 18, 29, 30	ocvval 21706	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
32	27, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33		hlhilocv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
34	1, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13	hdmapoc 42515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
35	26, 32, 34	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  Scalarcsca 17279  ·_𝑖cip 17281  0_gc0g 17458  ocvcocv 21699  HLchlt 39934  LHypclh 40568  DVecHcdvh 41662  ocHcoch 41931  HDMapchdma 42376  HLHilchlh 42516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-riotaBAD 39537

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-undef 8246  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-proset 18316  df-poset 18335  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18454  df-clat 18521  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-subg 19155  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19666  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-invr 20423  df-dvr 20436  df-nzr 20549  df-rlreg 20730  df-domn 20731  df-drng 20767  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-lvec 21157  df-ocv 21702  df-lsatoms 39560  df-lshyp 39561  df-lcv 39603  df-lfl 39642  df-lkr 39670  df-ldual 39708  df-oposet 39760  df-ol 39762  df-oml 39763  df-covers 39850  df-ats 39851  df-atl 39882  df-cvlat 39906  df-hlat 39935  df-llines 40082  df-lplanes 40083  df-lvols 40084  df-lines 40085  df-psubsp 40087  df-pmap 40088  df-padd 40380  df-lhyp 40572  df-laut 40573  df-ldil 40688  df-ltrn 40689  df-trl 40743  df-tgrp 41327  df-tendo 41339  df-edring 41341  df-dveca 41587  df-disoa 41613  df-dvech 41663  df-dib 41723  df-dic 41757  df-dih 41813  df-doch 41932  df-djh 41979  df-lcdual 42171  df-mapd 42209  df-hvmap 42341  df-hdmap1 42377  df-hdmap 42378  df-hlhil 42517

This theorem is referenced by:  hlhillcs  42542  hlhilhillem  42544