Theorem hlhilocv 39902

Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilocv	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhil0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhil0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		hlhil0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilocv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
6	1, 2, 3, 4, 5	hlhilbase 39877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑈))
7		rabeq 3408	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	3	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
12		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13		hlhilocv.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑉)
16	1, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15	hlhilipval 39894	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
20	1, 4, 17, 2, 18, 3, 19	hlhils0 39890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
21	20	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
22	21	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
23	16, 22	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
24	23	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
25	24	rabbidva 3402	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
26	8, 25	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
27	13, 6	sseqtrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30		hlhilocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
31	28, 11, 18, 29, 30	ocvval 20784	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
32	27, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33		hlhilocv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
34	1, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13	hdmapoc 39872	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
35	26, 32, 34	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  ·_𝑖cip 16893  0_gc0g 17067  ocvcocv 20777  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  ocHcoch 39288  HDMapchdma 39733  HLHilchlh 39873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-ocv 20780  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735  df-hlhil 39874

This theorem is referenced by:  hlhillcs  39903  hlhilhillem  39905