Theorem hlhilocv 42764

Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilocv	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhil0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhil0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		hlhil0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilocv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
6	1, 2, 3, 4, 5	hlhilbase 42743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑈))
7		rabeq 3432	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13		hlhilocv.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑉)
16	1, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15	hlhilipval 42756	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
20	1, 4, 17, 2, 18, 3, 19	hlhils0 42752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
21	20	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
23	16, 22	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
24	23	ralbidva 3188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
25	24	rabbidva 3424	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
26	8, 25	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
27	13, 6	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30		hlhilocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
31	28, 11, 18, 29, 30	ocvval 21846	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
32	27, 31	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33		hlhilocv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
34	1, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13	hdmapoc 42738	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
35	26, 32, 34	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330  ·_𝑖cip 17332  0_gc0g 17509  ocvcocv 21839  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  ocHcoch 42154  HDMapchdma 42599  HLHilchlh 42739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-0g 17511  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-oppg 19439  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-nzr 20639  df-rlreg 20822  df-domn 20823  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-ocv 21842  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lcv 39826  df-lfl 39865  df-lkr 39893  df-ldual 39931  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202  df-lcdual 42394  df-mapd 42432  df-hvmap 42564  df-hdmap1 42600  df-hdmap 42601  df-hlhil 42740

This theorem is used by:  hlhillcs  42765  hlhilhillem  42767