Theorem hlhilocv 41976

Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilocv	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhil0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhil0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		hlhil0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilocv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
6	1, 2, 3, 4, 5	hlhilbase 41955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑈))
7		rabeq 3430	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13		hlhilocv.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑉)
16	1, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15	hlhilipval 41968	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
20	1, 4, 17, 2, 18, 3, 19	hlhils0 41964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
21	20	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
22	21	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
23	16, 22	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
24	23	ralbidva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
25	24	rabbidva 3422	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
26	8, 25	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
27	13, 6	sseqtrd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30		hlhilocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
31	28, 11, 18, 29, 30	ocvval 21627	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
32	27, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33		hlhilocv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
34	1, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13	hdmapoc 41950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
35	26, 32, 34	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274  ·_𝑖cip 17276  0_gc0g 17453  ocvcocv 21620  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DVecHcdvh 41097  ocHcoch 41366  HDMapchdma 41811  HLHilchlh 41951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-nzr 20473  df-rlreg 20654  df-domn 20655  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-ocv 21623  df-lsatoms 38994  df-lshyp 38995  df-lcv 39037  df-lfl 39076  df-lkr 39104  df-ldual 39142  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tgrp 40762  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dveca 41022  df-disoa 41048  df-dvech 41098  df-dib 41158  df-dic 41192  df-dih 41248  df-doch 41367  df-djh 41414  df-lcdual 41606  df-mapd 41644  df-hvmap 41776  df-hdmap1 41812  df-hdmap 41813  df-hlhil 41952

This theorem is referenced by:  hlhillcs  41977  hlhilhillem  41979