Theorem hlhilocv 43108

Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhil0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlhilocv	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhil0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhil0.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhil0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		hlhil0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilocv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
6	1, 2, 3, 4, 5	hlhilbase 43087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑈))
7		rabeq 3426	. . . 4 ⊢ (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘𝑈) = (·𝑖‘𝑈)
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13		hlhilocv.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
15	14	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑉)
16	1, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15	hlhilipval 43100	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
20	1, 4, 17, 2, 18, 3, 19	hlhils0 43096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
21	20	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
23	16, 22	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
24	23	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
25	24	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
26	8, 25	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
27	13, 6	sseqtrd 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30		hlhilocv.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑈)
31	28, 11, 18, 29, 30	ocvval 21979	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
32	27, 31	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦(·𝑖‘𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33		hlhilocv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
34	1, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13	hdmapoc 43082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
35	26, 32, 34	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437  ·_𝑖cip 17439  0_gc0g 17616  ocvcocv 21972  HLchlt 40501  LHypclh 41135  DVecHcdvh 42229  ocHcoch 42498  HDMapchdma 42943  HLHilchlh 43083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-riotaBAD 40104

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-undef 8294  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-oppg 19566  df-lsm 19856  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-nzr 20769  df-rlreg 20952  df-domn 20953  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384  df-ocv 21975  df-lsatoms 40127  df-lshyp 40128  df-lcv 40170  df-lfl 40209  df-lkr 40237  df-ldual 40275  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-llines 40649  df-lplanes 40650  df-lvols 40651  df-lines 40652  df-psubsp 40654  df-pmap 40655  df-padd 40947  df-lhyp 41139  df-laut 41140  df-ldil 41255  df-ltrn 41256  df-trl 41310  df-tgrp 41894  df-tendo 41906  df-edring 41908  df-dveca 42154  df-disoa 42180  df-dvech 42230  df-dib 42290  df-dic 42324  df-dih 42380  df-doch 42499  df-djh 42546  df-lcdual 42738  df-mapd 42776  df-hvmap 42908  df-hdmap1 42944  df-hdmap 42945  df-hlhil 43084

This theorem is used by:  hlhillcs  43109  hlhilhillem  43111