Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilocv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhilocv 41345
Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhil0.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhil0.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhil0.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilocv.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
hlhilocv.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilocv.o 𝑂 = (ocvβ€˜π‘ˆ)
hlhilocv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlhilocv (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
Proof of Theorem hlhilocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhil0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hlhil0.u . . . . 5 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hlhil0.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 hlhil0.l . . . . 5 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hlhilocv.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 41320 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 rabeq 3440 . . . 4 (𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
9 eqid 2726 . . . . . . 7 ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
103ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (Β·π‘–β€˜π‘ˆ) = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
12 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
13 hlhilocv.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
1514sselda 3977 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
161, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15hlhilipval 41337 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦))
17 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
201, 4, 17, 2, 18, 3, 19hlhils0 41333 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
2120eqcomd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
2221ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
2316, 22eqeq12d 2742 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))))
2423ralbidva 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))))
2524rabbidva 3433 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
268, 25eqtr3d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
2713, 6sseqtrd 4017 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
28 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
29 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
30 hlhilocv.o . . . 4 𝑂 = (ocvβ€˜π‘ˆ)
3128, 11, 18, 29, 30ocvval 21560 . . 3 (𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
3227, 31syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
33 hlhilocv.n . . 3 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
341, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13hdmapoc 41315 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
3526, 32, 343eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  Β·π‘–cip 17211  0gc0g 17394  ocvcocv 21553  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  ocHcoch 40731  HDMapchdma 41176  HLHilchlh 41316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-ocv 21556  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009  df-hvmap 41141  df-hdmap1 41177  df-hdmap 41178  df-hlhil 41317
This theorem is referenced by:  hlhillcs  41346  hlhilhillem  41348
  Copyright terms: Public domain W3C validator