Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilocv 40278
Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhil0.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhil0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilocv.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilocv.n 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilocv.o 𝑂 = (ocv‘𝑈)
hlhilocv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlhilocv (𝜑 → (𝑂𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem hlhilocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhil0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhil0.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhil0.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhil0.l . . . . 5 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhilocv.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐿)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 40253 . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑈))
7 rabeq 3418 . . . 4 (𝑉 = (Base‘𝑈) → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
9 eqid 2737 . . . . . . 7 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
103ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (·𝑖𝑈) = (·𝑖𝑈)
12 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑉)
13 hlhilocv.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑋𝑉)
1514sselda 3936 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑉)
161, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15hlhilipval 40270 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦))
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝐿))
201, 4, 17, 2, 18, 3, 19hlhils0 40266 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐿)) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
2120eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
2221ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝐿)))
2316, 22eqeq12d 2753 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
2423ralbidva 3169 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑉) → (∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))))
2524rabbidva 3411 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
268, 25eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))} = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
2713, 6sseqtrd 3976 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
28 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29 eqid 2737 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
30 hlhilocv.o . . . 4 𝑂 = (ocv‘𝑈)
3128, 11, 18, 29, 30ocvval 20978 . . 3 (𝑋 ⊆ (Base‘𝑈) → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
3227, 31syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∈ (Base‘𝑈) ∣ ∀𝑧𝑋 (𝑦(·𝑖𝑈)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑈))})
33 hlhilocv.n . . 3 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
341, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13hdmapoc 40248 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑧)‘𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝐿))})
3526, 32, 343eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {crab 3404  wss 3902  cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  Scalarcsca 17063  ·𝑖cip 17065  0gc0g 17248  ocvcocv 20971  HLchlt 37666  LHypclh 38301  DVecHcdvh 39395  ocHcoch 39664  HDMapchdma 40109  HLHilchlh 40249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-riotaBAD 37269
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-tpos 8117  df-undef 8164  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-0g 17250  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-p1 18242  df-lat 18248  df-clat 18315  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-subg 18849  df-cntz 19020  df-oppg 19047  df-lsm 19338  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-ocv 20974  df-lsatoms 37292  df-lshyp 37293  df-lcv 37335  df-lfl 37374  df-lkr 37402  df-ldual 37440  df-oposet 37492  df-ol 37494  df-oml 37495  df-covers 37582  df-ats 37583  df-atl 37614  df-cvlat 37638  df-hlat 37667  df-llines 37815  df-lplanes 37816  df-lvols 37817  df-lines 37818  df-psubsp 37820  df-pmap 37821  df-padd 38113  df-lhyp 38305  df-laut 38306  df-ldil 38421  df-ltrn 38422  df-trl 38476  df-tgrp 39060  df-tendo 39072  df-edring 39074  df-dveca 39320  df-disoa 39346  df-dvech 39396  df-dib 39456  df-dic 39490  df-dih 39546  df-doch 39665  df-djh 39712  df-lcdual 39904  df-mapd 39942  df-hvmap 40074  df-hdmap1 40110  df-hdmap 40111  df-hlhil 40250
This theorem is referenced by:  hlhillcs  40279  hlhilhillem  40281
  Copyright terms: Public domain W3C validator