Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilocv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhilocv 41462
Description: The orthocomplement for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhil0.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhil0.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhil0.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilocv.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
hlhilocv.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilocv.o 𝑂 = (ocvβ€˜π‘ˆ)
hlhilocv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlhilocv (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
Proof of Theorem hlhilocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhil0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hlhil0.u . . . . 5 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hlhil0.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 hlhil0.l . . . . 5 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hlhilocv.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 41437 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 rabeq 3434 . . . 4 (𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
9 eqid 2725 . . . . . . 7 ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
103ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 eqid 2725 . . . . . . 7 (Β·π‘–β€˜π‘ˆ) = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
12 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
13 hlhilocv.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
1514sselda 3972 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
161, 4, 5, 9, 2, 10, 11, 12, 15hlhilipval 41454 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦))
17 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
18 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
201, 4, 17, 2, 18, 3, 19hlhils0 41450 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
2120eqcomd 2731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
2221ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
2316, 22eqeq12d 2741 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))))
2423ralbidva 3166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))))
2524rabbidva 3426 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
268, 25eqtr3d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
2713, 6sseqtrd 4012 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
28 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
29 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
30 hlhilocv.o . . . 4 𝑂 = (ocvβ€˜π‘ˆ)
3128, 11, 18, 29, 30ocvval 21601 . . 3 (𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
3227, 31syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦(Β·π‘–β€˜π‘ˆ)𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))})
33 hlhilocv.n . . 3 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
341, 4, 5, 17, 19, 33, 9, 3, 13hdmapoc 41432 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))})
3526, 32, 343eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  Β·π‘–cip 17235  0gc0g 17418  ocvcocv 21594  HLchlt 38850  LHypclh 39485  DVecHcdvh 40579  ocHcoch 40848  HDMapchdma 41293  HLHilchlh 41433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38453
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-ocv 21597  df-lsatoms 38476  df-lshyp 38477  df-lcv 38519  df-lfl 38558  df-lkr 38586  df-ldual 38624  df-oposet 38676  df-ol 38678  df-oml 38679  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822  df-hlat 38851  df-llines 38999  df-lplanes 39000  df-lvols 39001  df-lines 39002  df-psubsp 39004  df-pmap 39005  df-padd 39297  df-lhyp 39489  df-laut 39490  df-ldil 39605  df-ltrn 39606  df-trl 39660  df-tgrp 40244  df-tendo 40256  df-edring 40258  df-dveca 40504  df-disoa 40530  df-dvech 40580  df-dib 40640  df-dic 40674  df-dih 40730  df-doch 40849  df-djh 40896  df-lcdual 41088  df-mapd 41126  df-hvmap 41258  df-hdmap1 41294  df-hdmap 41295  df-hlhil 41434
This theorem is referenced by:  hlhillcs  41463  hlhilhillem  41465
  Copyright terms: Public domain W3C validator