Theorem hlhilsca 42399

Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsca.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.r	⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)
2		ovex 7395	. . . 4 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
5	4	phlsca 17307	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
7		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
12		hlhilsca.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
13		hlhilsca.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
17		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17	hlhilset 42398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
19	18	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
20	6, 19	eqtr4id 2791	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {cpr 4570  {ctp 4572  ⟨cop 4574  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   sSet csts 17128  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  *_𝑟cstv 17217  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  ·_𝑖cip 17220  HLchlt 39814  LHypclh 40448  EDRingcedring 41217  DVecHcdvh 41542  HDMapchdma 42256  HGMapchg 42347  HLHilchlh 42396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-hlhil 42397

This theorem is referenced by:  hlhilslem  42402  hlhilnvl  42414