Theorem hlhilsca 41262

Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsca.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.r	⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)
2		ovex 7434	. . . 4 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2821	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
5	4	phlsca 17290	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
7		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
12		hlhilsca.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
13		hlhilsca.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
17		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17	hlhilset 41261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
20	6, 19	eqtr4id 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∪ cun 3938  {cpr 4622  {ctp 4624  ⟨cop 4626  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  *_𝑟cstv 17195  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  ·_𝑖cip 17198  HLchlt 38676  LHypclh 39311  EDRingcedring 40080  DVecHcdvh 40405  HDMapchdma 41119  HGMapchg 41210  HLHilchlh 41259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-hlhil 41260

This theorem is referenced by:  hlhilslem  41265  hlhilslemOLD  41266  hlhilnvl  41281