Theorem hlhilsca 37956

Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsca.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.r	⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
5		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6		hlhilsca.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilsca.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)
9		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
12		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hlhilset 37955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
14	13	fveq2d 6415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
15		ovex 6910	. . . 4 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩) ∈ V
16	8, 15	eqeltri 2874	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
17		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
18	17	phlsca 16358	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	16, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
20	14, 19	syl6reqr 2852	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385   ∪ cun 3767  {cpr 4370  {ctp 4372  ⟨cop 4374  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  *_𝑟cstv 16269  Scalarcsca 16270   ·_𝑠 cvsca 16271  ·_𝑖cip 16272  HLchlt 35371  LHypclh 36005  EDRingcedring 36774  DVecHcdvh 37099  HDMapchdma 37813  HGMapchg 37904  HLHilchlh 37953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-hlhil 37954

This theorem is referenced by:  hlhilslem  37959  hlhilnvl  37971