Theorem hlhilsca 42737

Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsca.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsca.r	⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsca.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩)
2		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), 𝐺⟩) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
5	4	phlsca 17406	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
7		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
12		hlhilsca.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
13		hlhilsca.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
17		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17	hlhilset 42736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
20	6, 19	eqtr4id 2817	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  {cpr 4591  {ctp 4593  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   sSet csts 17227  ndxcnx 17257  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314  *_𝑟cstv 17316  Scalarcsca 17317   ·_𝑠 cvsca 17318  ·_𝑖cip 17319  HLchlt 40152  LHypclh 40786  EDRingcedring 41555  DVecHcdvh 41880  HDMapchdma 42594  HGMapchg 42685  HLHilchlh 42734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-hlhil 42735

This theorem is used by:  hlhilslem  42740  hlhilnvl  42752