Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilslem 40404
Description: Lemma for hlhilsbase 40406 etc. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilslem.e 𝐸 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilslem.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilslem.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hlhilslem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilslem.f 𝐹 = Slot (πΉβ€˜ndx)
hlhilslem.n (πΉβ€˜ndx) β‰  (*π‘Ÿβ€˜ndx)
hlhilslem.c 𝐢 = (πΉβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΉβ€˜π‘…))

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3 𝐢 = (πΉβ€˜πΈ)
2 hlhilslem.f . . . 4 𝐹 = Slot (πΉβ€˜ndx)
3 hlhilslem.n . . . 4 (πΉβ€˜ndx) β‰  (*π‘Ÿβ€˜ndx)
42, 3setsnid 17082 . . 3 (πΉβ€˜πΈ) = (πΉβ€˜(𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩))
51, 4eqtri 2765 . 2 𝐢 = (πΉβ€˜(𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩))
6 hlhilslem.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 hlhilslem.u . . . . 5 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hlhilslem.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 hlhilslem.e . . . . 5 𝐸 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2737 . . . . 5 ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2737 . . . . 5 (𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)
126, 7, 8, 9, 10, 11hlhilsca 40401 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
13 hlhilslem.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
1412, 13eqtr4di 2795 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩) = 𝑅)
1514fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐸 sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)) = (πΉβ€˜π‘…))
165, 15eqtrid 2789 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΉβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17036  Slot cslot 17054  ndxcnx 17066  *π‘Ÿcstv 17136  Scalarcsca 17137  HLchlt 37815  LHypclh 38450  EDRingcedring 39219  HGMapchg 40349  HLHilchlh 40398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-hlhil 40399
This theorem is referenced by:  hlhilsbase  40406  hlhilsplus  40408  hlhilsmul  40410
  Copyright terms: Public domain W3C validator