Theorem hlhilslem 39089

Description: Lemma for hlhilsbase2 39093. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslem.f	⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2	⊢ 𝑁 < 4
hlhilslem.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslem	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
3		hlhilslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxid 16509	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
5	3	nnrei 11647	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		hlhilslem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 4
7	5, 6	ltneii 10753	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ 4
8	2, 3	ndxarg 16508	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ndx) = 𝑁
9		starvndx 16623	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
10	8, 9	neeq12i 3082	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
11	7, 10	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
12	4, 11	setsnid 16539	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
13	1, 12	eqtri 2844	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	hlhilsca 39086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22	20, 21	syl6eqr 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
24	13, 23	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   < clt 10675  ℕcn 11638  4c4 11695  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Slot cslot 16482  *_𝑟cstv 16567  Scalarcsca 16568  HLchlt 36501  LHypclh 37135  EDRingcedring 37904  HGMapchg 39034  HLHilchlh 39083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-hlhil 39084

This theorem is referenced by:  hlhilsbase  39090  hlhilsplus  39091  hlhilsmul  39092