Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilslem 39234
 Description: Lemma for hlhilsbase2 39238. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilslem.f 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2 𝑁 < 4
hlhilslem.c 𝐶 = (𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem (𝜑𝐶 = (𝐹𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3 𝐶 = (𝐹𝐸)
2 hlhilslem.f . . . . 5 𝐹 = Slot 𝑁
3 hlhilslem.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
42, 3ndxid 16501 . . . 4 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
53nnrei 11634 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
6 hlhilslem.2 . . . . . 6 𝑁 < 4
75, 6ltneii 10742 . . . . 5 𝑁 ≠ 4
82, 3ndxarg 16500 . . . . . 6 (𝐹‘ndx) = 𝑁
9 starvndx 16615 . . . . . 6 (*𝑟‘ndx) = 4
108, 9neeq12i 3053 . . . . 5 ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
117, 10mpbir 234 . . . 4 (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
124, 11setsnid 16531 . . 3 (𝐹𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
131, 12eqtri 2821 . 2 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14 hlhilslem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 hlhilslem.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16 hlhilslem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hlhilslem.e . . . . 5 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18 eqid 2798 . . . . 5 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19 eqid 2798 . . . . 5 (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 39231 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21 hlhilslem.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
2220, 21eqtr4di 2851 . . 3 (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
2322fveq2d 6649 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹𝑅))
2413, 23syl5eq 2845 1 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   < clt 10664  ℕcn 11625  4c4 11682  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Slot cslot 16474  *𝑟cstv 16559  Scalarcsca 16560  HLchlt 36646  LHypclh 37280  EDRingcedring 38049  HGMapchg 39179  HLHilchlh 39228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-hlhil 39229 This theorem is referenced by:  hlhilsbase  39235  hlhilsplus  39236  hlhilsmul  39237
 Copyright terms: Public domain W3C validator