Theorem hlhilslem 42311

Description: Lemma for hlhilsbase 42312 etc. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslem.f	⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
hlhilslem.n	⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
hlhilslem.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslem	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
3		hlhilslem.n	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
4	2, 3	setsnid 17147	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
5	1, 4	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
6		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	hlhilsca 42308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
13		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14	12, 13	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
16	5, 15	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   sSet csts 17102  Slot cslot 17120  ndxcnx 17132  *_𝑟cstv 17191  Scalarcsca 17192  HLchlt 39723  LHypclh 40357  EDRingcedring 41126  HGMapchg 42256  HLHilchlh 42305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-hlhil 42306

This theorem is referenced by:  hlhilsbase  42312  hlhilsplus  42313  hlhilsmul  42314