Theorem hlhilslem 38076

Description: Lemma for hlhilsbase2 38080. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslem.f	⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2	⊢ 𝑁 < 4
hlhilslem.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslem	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
3		hlhilslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxid 16281	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
5	3	nnrei 11384	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		hlhilslem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 4
7	5, 6	ltneii 10489	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ 4
8	2, 3	ndxarg 16280	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ndx) = 𝑁
9		starvndx 16396	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
10	8, 9	neeq12i 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
11	7, 10	mpbir 223	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
12	4, 11	setsnid 16311	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
13	1, 12	eqtri 2801	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	hlhilsca 38073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22	20, 21	syl6eqr 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6450	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
24	13, 23	syl5eq 2825	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   < clt 10411  ℕcn 11374  4c4 11432  ndxcnx 16252   sSet csts 16253  Slot cslot 16254  *_𝑟cstv 16340  Scalarcsca 16341  HLchlt 35488  LHypclh 36122  EDRingcedring 36891  HGMapchg 38021  HLHilchlh 38070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-hlhil 38071

This theorem is referenced by:  hlhilsbase  38077  hlhilsplus  38078  hlhilsmul  38079