Theorem hlhilslem 39638

Description: Lemma for hlhilsbase2 39642. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslem.f	⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslem.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslem.2	⊢ 𝑁 < 4
hlhilslem.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslem	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
3		hlhilslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxid 16691	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
5	3	nnrei 11804	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		hlhilslem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 4
7	5, 6	ltneii 10910	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ 4
8	2, 3	ndxarg 16690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ndx) = 𝑁
9		starvndx 16807	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
10	8, 9	neeq12i 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
11	7, 10	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
12	4, 11	setsnid 16720	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
13	1, 12	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	hlhilsca 39635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22	20, 21	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6699	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
24	13, 23	syl5eq 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   < clt 10832  ℕcn 11795  4c4 11852  ndxcnx 16663   sSet csts 16664  Slot cslot 16665  *_𝑟cstv 16751  Scalarcsca 16752  HLchlt 37050  LHypclh 37684  EDRingcedring 38453  HGMapchg 39583  HLHilchlh 39632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-plusg 16762  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-hlhil 39633

This theorem is referenced by:  hlhilsbase  39639  hlhilsplus  39640  hlhilsmul  39641