Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilbase 40796
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilbase.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilbase.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilbase.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilbase.m 𝑀 = (Baseβ€˜πΏ)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Baseβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.m . . . 4 𝑀 = (Baseβ€˜πΏ)
21fvexi 6903 . . 3 𝑀 ∈ V
3 eqid 2733 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩})
43phlbase 17289 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ 𝑀 = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩})))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝑀 = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩}))
6 hlhilbase.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 hlhilbase.u . . . 4 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hlhilbase.l . . . 4 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
10 eqid 2733 . . . 4 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . 4 ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . 4 (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩) = (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)
13 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
14 eqid 2733 . . . 4 ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))
16 hlhilbase.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
176, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hlhilset 40794 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩}))
1817fveq2d 6893 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘€βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜πΏ)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), ( ·𝑠 β€˜πΏ)⟩, ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))⟩})))
195, 18eqtr4id 2792 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   sSet csts 17093  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  *π‘Ÿcstv 17196  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  Β·π‘–cip 17199  HLchlt 38209  LHypclh 38844  EDRingcedring 39613  DVecHcdvh 39938  HDMapchdma 40652  HGMapchg 40743  HLHilchlh 40792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-hlhil 40793
This theorem is referenced by:  hlhillvec  40815  hlhil0  40819  hlhillsm  40820  hlhilocv  40821  hlhillcs  40822  hlhilphllem  40823  hlhilhillem  40824
  Copyright terms: Public domain W3C validator