Theorem hlhilbase 42817

Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhilbase	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilbase

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilbase.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐿)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
4	3	phlbase 17438	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	hlhilset 42815	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
18	17	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	5, 18	eqtr4id 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (Base‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   sSet csts 17261  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  *_𝑟cstv 17350  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  ·_𝑖cip 17353  HLchlt 40231  LHypclh 40865  EDRingcedring 41634  DVecHcdvh 41959  HDMapchdma 42673  HGMapchg 42764  HLHilchlh 42813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-hlhil 42814

This theorem is used by:  hlhillvec  42832  hlhil0  42836  hlhillsm  42837  hlhilocv  42838  hlhillcs  42839  hlhilphllem  42840  hlhilhillem  42841