Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilbase 41938
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilbase.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.m 𝑀 = (Base‘𝐿)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase (𝜑𝑀 = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.m . . . 4 𝑀 = (Base‘𝐿)
21fvexi 6920 . . 3 𝑀 ∈ V
3 eqid 2737 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
43phlbase 17391 . . 3 (𝑀 ∈ V → 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6 hlhilbase.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 hlhilbase.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8 hlhilbase.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
10 eqid 2737 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2737 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2737 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
14 eqid 2737 . . . 4 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2737 . . . 4 (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16 hlhilbase.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
176, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hlhilset 41936 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
1817fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
195, 18eqtr4id 2796 1 (𝜑𝑀 = (Base‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  {cpr 4628  {ctp 4630  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  *𝑟cstv 17299  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  HLchlt 39351  LHypclh 39986  EDRingcedring 40755  DVecHcdvh 41080  HDMapchdma 41794  HGMapchg 41885  HLHilchlh 41934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-hlhil 41935
This theorem is referenced by:  hlhillvec  41957  hlhil0  41961  hlhillsm  41962  hlhilocv  41963  hlhillcs  41964  hlhilphllem  41965  hlhilhillem  41966
  Copyright terms: Public domain W3C validator