Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilbase 41919
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilbase.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.m 𝑀 = (Base‘𝐿)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase (𝜑𝑀 = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.m . . . 4 𝑀 = (Base‘𝐿)
21fvexi 6921 . . 3 𝑀 ∈ V
3 eqid 2735 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
43phlbase 17393 . . 3 (𝑀 ∈ V → 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6 hlhilbase.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 hlhilbase.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8 hlhilbase.l . . . 4 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2735 . . . 4 (+g𝐿) = (+g𝐿)
10 eqid 2735 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2735 . . . 4 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2735 . . . 4 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
14 eqid 2735 . . . 4 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16 hlhilbase.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
176, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hlhilset 41917 . . 3 (𝜑𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
1817fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥𝑀, 𝑦𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
195, 18eqtr4id 2794 1 (𝜑𝑀 = (Base‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  *𝑟cstv 17300  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  ·𝑖cip 17303  HLchlt 39332  LHypclh 39967  EDRingcedring 40736  DVecHcdvh 41061  HDMapchdma 41775  HGMapchg 41866  HLHilchlh 41915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-hlhil 41916
This theorem is referenced by:  hlhillvec  41938  hlhil0  41942  hlhillsm  41943  hlhilocv  41944  hlhillcs  41945  hlhilphllem  41946  hlhilhillem  41947
  Copyright terms: Public domain W3C validator