Theorem hlhilplus 41405

Description: The vector addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilplus.a	⊢ + = (+g‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhilplus	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilplus

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilplus.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐿)
2	1	fvexi 6906	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
4	3	phlplusg 17323	. . 3 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
14		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	6, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	hlhilset 41402	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
18	17	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	5, 18	eqtr4id 2787	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ∪ cun 3943  {cpr 4627  {ctp 4629  ⟨cop 4631  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417   sSet csts 17126  ndxcnx 17156  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  *_𝑟cstv 17229  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  ·_𝑖cip 17232  HLchlt 38817  LHypclh 39452  EDRingcedring 40221  DVecHcdvh 40546  HDMapchdma 41260  HGMapchg 41351  HLHilchlh 41400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-hlhil 41401

This theorem is referenced by:  hlhillvec  41423  hlhil0  41427  hlhillsm  41428  hlhilphllem  41431