Theorem hlhilplus 41880

Description: The vector addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilplus.a	⊢ + = (+g‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhilplus	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilplus

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilplus.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐿)
2	1	fvexi 6901	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
4	3	phlplusg 17369	. . 3 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	6, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	hlhilset 41877	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
18	17	fveq2d 6891	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	5, 18	eqtr4id 2788	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ∪ cun 3931  {cpr 4610  {ctp 4612  ⟨cop 4614  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   sSet csts 17183  ndxcnx 17213  Basecbs 17230  +_gcplusg 17277  *_𝑟cstv 17279  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  ·_𝑖cip 17282  HLchlt 39292  LHypclh 39927  EDRingcedring 40696  DVecHcdvh 41021  HDMapchdma 41735  HGMapchg 41826  HLHilchlh 41875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17290  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-hlhil 41876

This theorem is referenced by:  hlhillvec  41898  hlhil0  41902  hlhillsm  41903  hlhilphllem  41906