Theorem hlhilplus 41976

Description: The vector addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilplus.a	⊢ + = (+g‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhilplus	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilplus

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilplus.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐿)
2	1	fvexi 6831	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
4	3	phlplusg 17247	. . 3 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ + = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
6		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
8		hlhilbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
16		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	6, 7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	hlhilset 41973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
18	17	fveq2d 6821	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑈) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐿)⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐿), 𝑦 ∈ (Base‘𝐿) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
19	5, 18	eqtr4id 2785	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {cpr 4573  {ctp 4575  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343   sSet csts 17069  ndxcnx 17099  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  *_𝑟cstv 17158  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  ·_𝑖cip 17161  HLchlt 39389  LHypclh 40023  EDRingcedring 40792  DVecHcdvh 41117  HDMapchdma 41831  HGMapchg 41922  HLHilchlh 41971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-hlhil 41972

This theorem is referenced by:  hlhillvec  41990  hlhil0  41994  hlhillsm  41995  hlhilphllem  41998