Theorem sge0ge0 46509

Description: The sum of nonnegative extended reals is nonnegative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0ge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0ge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11168	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11175	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		sge0ge0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		sge0ge0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7	5, 6	sge0cl 46506	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
8		iccgelb 13306	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  +∞cpnf 11152  ℝ^*cxr 11154   ≤ cle 11156  [,]cicc 13252  Σ^{^}csumge0 46487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-sum 15598  df-sumge0 46488

This theorem is referenced by:  sge0repnf  46511  sge0ssre  46522  sge0iunmptlemfi  46538  sge0iunmptlemre  46540  sge0ge0mpt  46563  ovnsubadd  46697  hoidmv1le  46719  hoidmvlelem1  46720  hoidmvlelem5  46724