Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmidl2 32604
Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 37024 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prmidlval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
prmidlval.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
prmidl2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem prmidl2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃)
2 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 prmidlval.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
53, 4lidlss 20839 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
7 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
83, 4lidlss 20839 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
10 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
11 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
129, 10, 11sylc 65 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
13 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 (𝑏 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
1413ralimdv 3169 . . . . . . . 8 (𝑏 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
156, 12, 14sylc 65 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
16 r19.26-2 3138 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
17 pm3.35 801 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
18172ralimi 3123 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
1916, 18sylbir 234 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
201, 15, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
21 2ralor 3228 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
22 dfss3 3970 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† 𝑃 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž π‘₯ ∈ 𝑃)
23 dfss3 3970 . . . . . . . 8 (𝑏 βŠ† 𝑃 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃)
2422, 23orbi12i 913 . . . . . . 7 ((π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
2521, 24sylbb2 237 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃))
2620, 25syl 17 . . . . 5 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃))
2726ex 413 . . . 4 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃)))
2827ralrimivva 3200 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆ€π‘ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃)))
29 prmidlval.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
303, 29isprmidl 32601 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆ€π‘ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃)))))
3130biimpar 478 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆ€π‘ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
32313anassrs 1360 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆ€π‘ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑃 ∨ 𝑏 βŠ† 𝑃))) β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
3328, 32syldan 591 . 2 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑃 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
3433anasss 467 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Ringcrg 20058  LIdealclidl 20789  PrmIdealcprmidl 32598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-prmidl 32599
This theorem is referenced by:  isprmidlc  32611  rhmpreimaprmidl  32615  qsidomlem1  32616  mxidlprm  32631
  Copyright terms: Public domain W3C validator