Theorem prmidl2 33419

Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 38071 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl2	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmidl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
2		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		prmidlval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
7		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8	3, 4	lidlss 21129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
11		ssralv 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
12	9, 10, 11	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
13		ssralv 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
14	13	ralimdv 3148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
15	6, 12, 14	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
16		r19.26-2 3119	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
17		pm3.35 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
18	17	2ralimi 3104	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
19	16, 18	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
20	1, 15, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
21		2ralor 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
22		dfss3 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃)
23		dfss3 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃)
24	22, 23	orbi12i 914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
25	21, 24	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
28	27	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
29		prmidlval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	3, 29	isprmidl 33416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))))
31	30	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32	31	3anassrs 1361	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
33	28, 32	syldan 591	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
34	33	anasss 466	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20149  LIdealclidl 21123  PrmIdealcprmidl 33413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-prmidl 33414

This theorem is referenced by:  isprmidlc  33425  rhmpreimaprmidl  33429  qsidomlem1  33430  mxidlprm  33448