Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidl2 30998
 Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 35466 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prmidlval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlval.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
prmidl2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmidl2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
2 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3 prmidlval.1 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53, 4lidlss 19974 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑏𝐵)
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏𝐵)
7 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅))
83, 4lidlss 19974 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑎𝐵)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎𝐵)
10 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
11 ssralv 4008 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ∀𝑥𝑎𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
129, 10, 11sylc 65 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥𝑎𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
13 ssralv 4008 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → (∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ∀𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
1413ralimdv 3170 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → (∀𝑥𝑎𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
156, 12, 14sylc 65 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
16 r19.26-2 3163 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ↔ (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
17 pm3.35 802 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) → (𝑥𝑃𝑦𝑃))
18172ralimi 3153 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥𝑃𝑦𝑃))
1916, 18sylbir 238 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥𝑃𝑦𝑃))
201, 15, 19syl2anc 587 . . . . . 6 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥𝑃𝑦𝑃))
21 2ralor 3350 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥𝑃𝑦𝑃) ↔ (∀𝑥𝑎 𝑥𝑃 ∨ ∀𝑦𝑏 𝑦𝑃))
22 dfss3 3930 . . . . . . . 8 (𝑎𝑃 ↔ ∀𝑥𝑎 𝑥𝑃)
23 dfss3 3930 . . . . . . . 8 (𝑏𝑃 ↔ ∀𝑦𝑏 𝑦𝑃)
2422, 23orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑎𝑃𝑏𝑃) ↔ (∀𝑥𝑎 𝑥𝑃 ∨ ∀𝑦𝑏 𝑦𝑃))
2521, 24sylbb2 241 . . . . . 6 (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥𝑃𝑦𝑃) → (𝑎𝑃𝑏𝑃))
2620, 25syl 17 . . . . 5 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑎𝑃𝑏𝑃))
2726ex 416 . . . 4 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → (∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))
2827ralrimivva 3181 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))
29 prmidlval.2 . . . . . 6 · = (.r𝑅)
303, 29isprmidl 30995 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))))
3130biimpar 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32313anassrs 1357 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥𝑎𝑦𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3328, 32syldan 594 . 2 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3433anasss 470 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  Ringcrg 19288  LIdealclidl 19933  PrmIdealcprmidl 30992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-lidl 19937  df-prmidl 30993 This theorem is referenced by:  isprmidlc  31005  qsidomlem1  31007  mxidlprm  31019
 Copyright terms: Public domain W3C validator