Theorem prmidl2 33521

Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 38402 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl2	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmidl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
2		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		prmidlval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
7		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8	3, 4	lidlss 21200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
11		ssralv 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
12	9, 10, 11	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
13		ssralv 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
14	13	ralimdv 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
15	6, 12, 14	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
16		r19.26-2 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
17		pm3.35 803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
18	17	2ralimi 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
19	16, 18	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
20	1, 15, 19	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
21		2ralor 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
22		dfss3 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃)
23		dfss3 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃)
24	22, 23	orbi12i 915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
25	21, 24	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
28	27	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
29		prmidlval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	3, 29	isprmidl 33518	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))))
31	30	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32	31	3anassrs 1362	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
33	28, 32	syldan 592	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
34	33	anasss 466	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  Ringcrg 20203  LIdealclidl 21194  PrmIdealcprmidl 33515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-lss 20916  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196  df-prmidl 33516

This theorem is referenced by:  isprmidlc  33527  rhmpreimaprmidl  33531  qsidomlem1  33532  mxidlprm  33550