Theorem prmidl2 33501

Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 38391 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl2	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmidl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
2		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		prmidlval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
7		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8	3, 4	lidlss 21210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
11		ssralv 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
12	9, 10, 11	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
13		ssralv 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
14	13	ralimdv 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
15	6, 12, 14	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
16		r19.26-2 3122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
17		pm3.35 803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
18	17	2ralimi 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
19	16, 18	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
20	1, 15, 19	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
21		2ralor 3211	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
22		dfss3 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃)
23		dfss3 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃)
24	22, 23	orbi12i 915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
25	21, 24	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
28	27	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
29		prmidlval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	3, 29	isprmidl 33498	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))))
31	30	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32	31	3anassrs 1362	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
33	28, 32	syldan 592	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
34	33	anasss 466	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20214  LIdealclidl 21204  PrmIdealcprmidl 33495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-prmidl 33496

This theorem is referenced by:  isprmidlc  33507  rhmpreimaprmidl  33511  qsidomlem1  33512  mxidlprm  33530