Theorem prmidl2 33456

Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 38094 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl2	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmidl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
2		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		prmidlval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
7		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8	3, 4	lidlss 21173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
11		ssralv 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
12	9, 10, 11	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
13		ssralv 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
14	13	ralimdv 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
15	6, 12, 14	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
16		r19.26-2 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
17		pm3.35 802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
18	17	2ralimi 3110	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
19	16, 18	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
20	1, 15, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
21		2ralor 3215	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
22		dfss3 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃)
23		dfss3 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑃 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃)
24	22, 23	orbi12i 914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑥 ∈ 𝑃 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑦 ∈ 𝑃))
25	21, 24	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
26	20, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ∧ (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
28	27	ralrimivva 3187	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))
29		prmidlval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	3, 29	isprmidl 33453	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))))
31	30	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32	31	3anassrs 1361	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑎 ⊆ 𝑃 ∨ 𝑏 ⊆ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
33	28, 32	syldan 591	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
34	33	anasss 466	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Ringcrg 20193  LIdealclidl 21167  PrmIdealcprmidl 33450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-prmidl 33451

This theorem is referenced by:  isprmidlc  33462  rhmpreimaprmidl  33466  qsidomlem1  33467  mxidlprm  33485