Theorem imasaddval 17577

Description: The value of an image structure's group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasaddf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasaddf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasaddf.p	⊢ · = (+g‘𝑅)
imasaddf.a	⊢ ∙ = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasaddval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑅,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑉   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑞,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasaddf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
2		imasaddf.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
3		imasaddf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
4		imasaddf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		imasaddf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
6		imasaddf.p	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑅)
7		imasaddf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (+g‘𝑈)
8	3, 4, 1, 5, 6, 7	imasplusg 17562	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9	1, 2, 8	imasaddvallem 17574	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑋) ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   “_s cimas 17549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-imas 17553

This theorem is referenced by:  xpsadd  17619  imasmnd2  18787  imasgrp2  19073  imasabl  19894  imasrng  20174  imasring  20327  mhmimasplusg  33043  imaslmod  33381  imasmhm  33382  imasghm  33383  imasrhm  33384  imasgim  43112