Theorem inagswap 28819

Description: Swap the order of the half lines delimiting the angle. Theorem 11.24 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Assertion

Ref	Expression
inagswap	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem inagswap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagswap.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		isinag.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isinag.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isinag.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		isinag.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		isinag.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		isinag.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		isinag.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		inagflat.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isinag 28816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
11	1, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
12	11	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
13	12	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	12	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	12	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
16	13, 14, 15	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
17	11	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24	2, 18, 3, 19, 20, 21, 22, 23	tgbtwncom 28466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
25	24	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
26	25	anim1d 611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
27	26	reximdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
28	17, 27	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
29	2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9	isinag 28816	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
30	16, 28, 29	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ⟨“cs3 14749  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411  hlGchlg 28578  inAcinag 28813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28426  df-trkgb 28427  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431  df-inag 28815

This theorem is referenced by: (None)