Theorem inagswap 28915

Description: Swap the order of the half lines delimiting the angle. Theorem 11.24 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isinag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isinag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isinag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
inagflat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagswap.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)

Assertion

Ref	Expression
inagswap	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem inagswap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagswap.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		isinag.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isinag.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isinag.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		isinag.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		isinag.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		isinag.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		isinag.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		inagflat.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isinag 28912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
11	1, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
12	11	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
13	12	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	12	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	12	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
16	13, 14, 15	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵))
17	11	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
24	2, 18, 3, 19, 20, 21, 22, 23	tgbtwncom 28562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
25	24	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
26	25	anim1d 611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
27	26	reximdva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋))))
28	17, 27	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))
29	2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9	isinag 28912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∧ (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥(𝐾‘𝐵)𝑋)))))
30	16, 28, 29	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ⟨“cs3 14767  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28501  Itvcitv 28507  hlGchlg 28674  inAcinag 28909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14522  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28522  df-trkgb 28523  df-trkgcb 28524  df-trkg 28527  df-inag 28911

This theorem is referenced by: (None)