Theorem fpwipodrs 18505

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5369	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		inex1g 5312	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4		0elpw 5347	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5		0fin 9173	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
6	4, 5	elini 4188	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7		ne0i 4329	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9		elin 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
10		elin 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
11		pwuncl 7754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	ad2ant2r 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13		unfi 9174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14	13	ad2ant2l 743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
15	12, 14	elind 4189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16	9, 10, 15	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17		ssid 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)
18		sseq2 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∪ 𝑦) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
19	18	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
20	16, 17, 19	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
21	20	rgen2 3191	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
23		isipodrs 18502	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
24	3, 8, 22, 23	syl3anbrc 1340	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  𝒫 cpw 4597  ‘cfv 6537  Fincfn 8941  Dirsetcdrs 18259  toInccipo 18492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18278  df-ipo 18493

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18510  isnacs3  42026