MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwipodrs 17765
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5256 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 inex1g 5199 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4 0elpw 5233 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5 0fin 8734 . . . 4 ∅ ∈ Fin
64, 5elini 4144 . . 3 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 ne0i 4272 . . 3 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9 elin 3924 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
10 elin 3924 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin))
11 pwuncl 7477 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1211ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13 unfi 8773 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
1413ad2ant2l 745 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
1512, 14elind 4145 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
169, 10, 15syl2anb 600 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17 ssid 3964 . . . . 5 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
18 sseq2 3968 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
1918rspcev 3598 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
2016, 17, 19sylancl 589 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
2120rgen2 3193 . . 3 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧
2221a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
23 isipodrs 17762 . 2 ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
243, 8, 22, 23syl3anbrc 1340 1 (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  Vcvv 3469  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511  cfv 6334  Fincfn 8496  Dirsetcdrs 17528  toInccipo 17752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ocomp 16577  df-proset 17529  df-drs 17530  df-poset 17547  df-ipo 17753
This theorem is referenced by:  isacs5lem  17770  isnacs3  39582
  Copyright terms: Public domain W3C validator