Theorem fpwipodrs 18605

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		inex1g 5340	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4		0elpw 5377	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5		0fi 9104	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
6	4, 5	elini 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7		ne0i 4359	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9		elin 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
10		elin 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
11		pwuncl 7801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13		unfi 9234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14	13	ad2ant2l 745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
15	12, 14	elind 4217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16	9, 10, 15	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17		ssid 4025	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)
18		sseq2 4029	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∪ 𝑦) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
19	18	rspcev 3631	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
20	16, 17, 19	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
21	20	rgen2 3201	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
23		isipodrs 18602	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
24	3, 8, 22, 23	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3072  Vcvv 3482   ∪ cun 3968   ∩ cin 3969   ⊆ wss 3970  ∅c0 4347  𝒫 cpw 4622  ‘cfv 6572  Fincfn 8999  Dirsetcdrs 18359  toInccipo 18592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ocomp 17327  df-proset 18360  df-drs 18361  df-poset 18378  df-ipo 18593

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18610  isnacs3  42603