Theorem fpwipodrs 18268

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		inex1g 5241	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4		0elpw 5276	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5		0fin 8941	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
6	4, 5	elini 4126	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7		ne0i 4268	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9		elin 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
10		elin 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
11		pwuncl 7610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	ad2ant2r 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13		unfi 8942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14	13	ad2ant2l 743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
15	12, 14	elind 4127	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16	9, 10, 15	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17		ssid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)
18		sseq2 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∪ 𝑦) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
19	18	rspcev 3559	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
20	16, 17, 19	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
21	20	rgen2 3127	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
23		isipodrs 18265	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
24	3, 8, 22, 23	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3429   ∪ cun 3884   ∩ cin 3885   ⊆ wss 3886  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6426  Fincfn 8720  Dirsetcdrs 18022  toInccipo 18255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ocomp 16993  df-proset 18023  df-drs 18024  df-poset 18041  df-ipo 18256

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18273  isnacs3  40540