MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwipodrs 18531
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5372 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 inex1g 5314 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4 0elpw 5350 . . . 4 βˆ… ∈ 𝒫 𝐴
5 0fin 9194 . . . 4 βˆ… ∈ Fin
64, 5elini 4187 . . 3 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 ne0i 4330 . . 3 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰  βˆ…)
9 elin 3955 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Fin))
10 elin 3955 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
11 pwuncl 7770 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1211ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13 unfi 9195 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
1413ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ Fin)
1512, 14elind 4188 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
169, 10, 15syl2anb 596 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17 ssid 3995 . . . . 5 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)
18 sseq2 3999 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
1918rspcev 3601 . . . . 5 (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
2016, 17, 19sylancl 584 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
2120rgen2 3188 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧
2221a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
23 isipodrs 18528 . 2 ((toIncβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
243, 8, 22, 23syl3anbrc 1340 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  β€˜cfv 6543  Fincfn 8962  Dirsetcdrs 18285  toInccipo 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ocomp 17253  df-proset 18286  df-drs 18287  df-poset 18304  df-ipo 18519
This theorem is referenced by:  isacs5lem  18536  isnacs3  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator