MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwipodrs 17432
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5014 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 inex1g 4962 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4 0elpw 4992 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5 0fin 8395 . . . 4 ∅ ∈ Fin
6 elin 3958 . . . 4 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
74, 5, 6mpbir2an 702 . . 3 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
8 ne0i 4085 . . 3 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
97, 8mp1i 13 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
10 elin 3958 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
11 elin 3958 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin))
12 elpwi 4325 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
13 elpwi 4325 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
1412, 13anim12i 606 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 unss 3949 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
16 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
17 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1816, 17unex 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦) ∈ V
1918elpw 4321 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
2015, 19bitr4i 269 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2114, 20sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2221ad2ant2r 753 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
23 unfi 8434 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
2423ad2ant2l 752 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
2522, 24elind 3960 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2610, 11, 25syl2anb 591 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
27 ssid 3783 . . . . 5 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
28 sseq2 3787 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
2928rspcev 3461 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3026, 27, 29sylancl 580 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3130rgen2a 3124 . . 3 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧
3231a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
33 isipodrs 17429 . 2 ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
343, 9, 32, 33syl3anbrc 1443 1 (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  cfv 6068  Fincfn 8160  Dirsetcdrs 17195  toInccipo 17419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ocomp 16237  df-proset 17196  df-drs 17197  df-poset 17214  df-ipo 17420
This theorem is referenced by:  isacs5lem  17437  isnacs3  37883
  Copyright terms: Public domain W3C validator