MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwipodrs 17524
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5080 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 inex1g 5028 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4 0elpw 5058 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5 0fin 8463 . . . 4 ∅ ∈ Fin
6 elin 4025 . . . 4 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
74, 5, 6mpbir2an 702 . . 3 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
8 ne0i 4152 . . 3 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
97, 8mp1i 13 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
10 elin 4025 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
11 elin 4025 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin))
12 elpwi 4390 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
13 elpwi 4390 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
1412, 13anim12i 606 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 unss 4016 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
16 vex 3417 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
17 vex 3417 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1816, 17unex 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦) ∈ V
1918elpw 4386 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
2015, 19bitr4i 270 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ↔ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2114, 20sylib 210 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2221ad2ant2r 753 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
23 unfi 8502 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
2423ad2ant2l 752 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
2522, 24elind 4027 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2610, 11, 25syl2anb 591 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
27 ssid 3848 . . . . 5 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
28 sseq2 3852 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
2928rspcev 3526 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3026, 27, 29sylancl 580 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3130rgen2a 3186 . . 3 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧
3231a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
33 isipodrs 17521 . 2 ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
343, 9, 32, 33syl3anbrc 1447 1 (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4146  𝒫 cpw 4380  cfv 6127  Fincfn 8228  Dirsetcdrs 17287  toInccipo 17511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ocomp 16333  df-proset 17288  df-drs 17289  df-poset 17306  df-ipo 17512
This theorem is referenced by:  isacs5lem  17529  isnacs3  38112
  Copyright terms: Public domain W3C validator