MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwipodrs 18535
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5378 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 inex1g 5320 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4 0elpw 5356 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5 0fin 9196 . . . 4 ∅ ∈ Fin
64, 5elini 4191 . . 3 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 ne0i 4334 . . 3 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9 elin 3960 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
10 elin 3960 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin))
11 pwuncl 7773 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1211ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13 unfi 9197 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
1413ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
1512, 14elind 4192 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
169, 10, 15syl2anb 596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17 ssid 3999 . . . . 5 (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)
18 sseq2 4003 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
1918rspcev 3606 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
2016, 17, 19sylancl 584 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
2120rgen2 3187 . . 3 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧
2221a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
23 isipodrs 18532 . 2 ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
243, 8, 22, 23syl3anbrc 1340 1 (𝐴𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  cfv 6549  Fincfn 8964  Dirsetcdrs 18289  toInccipo 18522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ocomp 17257  df-proset 18290  df-drs 18291  df-poset 18308  df-ipo 18523
This theorem is referenced by:  isacs5lem  18540  isnacs3  42272
  Copyright terms: Public domain W3C validator