Theorem fpwipodrs 18597

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		inex1g 5289	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
4		0elpw 5328	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5		0fi 9040	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
6	4, 5	elini 4153	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7		ne0i 4295	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
9		elin 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin))
10		elin 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
11		pwuncl 7770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	ad2ant2r 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
13		unfi 9156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
14	13	ad2ant2l 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
15	12, 14	elind 4154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16	9, 10, 15	syl2anb 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17		ssid 3960	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)
18		sseq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∪ 𝑦) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
19	18	rspcev 3582	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∪ 𝑦) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
20	16, 17, 19	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
21	20	rgen2 3205	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
23		isipodrs 18594	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset ↔ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
24	3, 8, 22, 23	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (toInc‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  Fincfn 8944  Dirsetcdrs 18350  toInccipo 18584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18602  isnacs3  43424