Theorem irredneg 20661

Description: The negative of an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredneg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		irredneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6		irredn0.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
7	6, 1	irredcl 20655	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringnegr 20535	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑋))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 3	1unit 20605	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
12	10, 4	unitnegcl 20628	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	11, 12	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
15	6, 10, 2	irredrmul 20658	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ 𝐼)
16	14, 15	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ 𝐼)
17	9, 16	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430  inv_gcminusg 19146  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  Unitcui 20586  Irredcir 20587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-irred 20590  df-invr 20619  df-dvr 20632

This theorem is used by:  irrednegb  20662