Theorem irredneg 20315

Description: The negative of an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredneg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		irredneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6		irredn0.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
7	6, 1	irredcl 20309	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringnegr 20188	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑋))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 3	1unit 20259	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
12	10, 4	unitnegcl 20282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
13	11, 12	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
15	6, 10, 2	irredrmul 20312	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ 𝐼)
16	14, 15	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝑁‘(1r‘𝑅))) ∈ 𝐼)
17	9, 16	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  inv_gcminusg 18813  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  Unitcui 20240  Irredcir 20241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-irred 20244  df-invr 20273  df-dvr 20286

This theorem is referenced by:  irrednegb  20316