Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindflbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindflbs 32770
Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindflbs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lindflbs.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lindflbs.r 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lindflbs.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lindflbs.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
lindflbs.y 0 = (0gβ€˜π‘†)
lindflbs.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindflbs.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lindflbs.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
Assertion
Ref Expression
lindflbs (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))

Proof of Theorem lindflbs
StepHypRef Expression
1 lindflbs.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2731 . . 3 (LBasisβ€˜π‘Š) = (LBasisβ€˜π‘Š)
3 lindflbs.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3islbs4 21607 . 2 (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡))
5 lindflbs.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
6 ssv 4006 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† V
7 f1ssr 6794 . . . . . 6 ((𝐹:𝐼–1-1→𝐡 ∧ ran 𝐹 βŠ† V) β†’ 𝐹:𝐼–1-1β†’V)
85, 6, 7sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1β†’V)
9 f1dm 6791 . . . . . 6 (𝐹:𝐼–1-1→𝐡 β†’ dom 𝐹 = 𝐼)
10 f1eq2 6783 . . . . . 6 (dom 𝐹 = 𝐼 β†’ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ↔ 𝐹:𝐼–1-1β†’V))
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ↔ 𝐹:𝐼–1-1β†’V))
128, 11mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V)
13 lindflbs.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 lindflbs.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
15 lindflbs.r . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615islindf3 21601 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))
1713, 14, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))
1812, 17mpbirand 704 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
1918anbi1d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
204, 19bitr4id 290 1 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  NzRingcnzr 20404  LModclmod 20615  LSpanclspn 20727  LBasisclbs 20830   LIndF clindf 21579  LIndSclinds 21580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lbs 20831  df-lindf 21581  df-linds 21582
This theorem is referenced by:  islbs5  32771  fedgmul  33005
  Copyright terms: Public domain W3C validator