Theorem lindflbs 33635

Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindflbs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lindflbs.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
lindflbs.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lindflbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lindflbs	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindflbs.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3		lindflbs.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21950	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5		lindflbs.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
6		ssv 3969	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ V
7		f1ssr 6783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐼–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼–1-1→V)
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→V)
9		f1dm 6781	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		f1eq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
11	5, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
12	8, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
13		lindflbs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14		lindflbs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
15		lindflbs.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
16	15	islindf3 21944	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
17	13, 14, 16	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
18	12, 17	mpbirand 719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
19	18	anbi1d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
20	4, 19	bitr4id 293	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ran crn 5663  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  NzRingcnzr 20594  LModclmod 20958  LSpanclspn 21069  LBasisclbs 21172   LIndF clindf 21922  LIndSclinds 21923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-nzr 20595  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-lbs 21173  df-lindf 21924  df-linds 21925

This theorem is referenced by:  islbs5  33636  fedgmul  33965