Theorem lindflbs 33472

Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindflbs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lindflbs.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
lindflbs.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lindflbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lindflbs	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindflbs.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3		lindflbs.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21799	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5		lindflbs.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
6		ssv 3960	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ V
7		f1ssr 6744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐼–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼–1-1→V)
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→V)
9		f1dm 6742	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		f1eq2 6734	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
12	8, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
13		lindflbs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14		lindflbs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
15		lindflbs.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
16	15	islindf3 21793	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
17	13, 14, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
18	12, 17	mpbirand 708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
19	18	anbi1d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
20	4, 19	bitr4id 290	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  NzRingcnzr 20457  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  LBasisclbs 21038   LIndF clindf 21771  LIndSclinds 21772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20458  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lbs 21039  df-lindf 21773  df-linds 21774

This theorem is referenced by:  islbs5  33473  fedgmul  33809