Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindflbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindflbs 31871
Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindflbs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lindflbs.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lindflbs.r 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lindflbs.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lindflbs.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
lindflbs.y 0 = (0gβ€˜π‘†)
lindflbs.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindflbs.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lindflbs.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
Assertion
Ref Expression
lindflbs (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))

Proof of Theorem lindflbs
StepHypRef Expression
1 lindflbs.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2736 . . 3 (LBasisβ€˜π‘Š) = (LBasisβ€˜π‘Š)
3 lindflbs.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3islbs4 21145 . 2 (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡))
5 lindflbs.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
6 ssv 3956 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† V
7 f1ssr 6728 . . . . . 6 ((𝐹:𝐼–1-1→𝐡 ∧ ran 𝐹 βŠ† V) β†’ 𝐹:𝐼–1-1β†’V)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1β†’V)
9 f1dm 6725 . . . . . 6 (𝐹:𝐼–1-1→𝐡 β†’ dom 𝐹 = 𝐼)
10 f1eq2 6717 . . . . . 6 (dom 𝐹 = 𝐼 β†’ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ↔ 𝐹:𝐼–1-1β†’V))
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ↔ 𝐹:𝐼–1-1β†’V))
128, 11mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V)
13 lindflbs.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 lindflbs.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
15 lindflbs.r . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615islindf3 21139 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))
1713, 14, 16syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))
1812, 17mpbirand 704 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
1918anbi1d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
204, 19bitr4id 289 1 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   βŠ† wss 3898   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  ran crn 5621  β€“1-1β†’wf1 6476  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  LModclmod 20229  LSpanclspn 20339  LBasisclbs 20442  NzRingcnzr 20634   LIndF clindf 21117  LIndSclinds 21118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lbs 20443  df-nzr 20635  df-lindf 21119  df-linds 21120
This theorem is referenced by:  fedgmul  32010
  Copyright terms: Public domain W3C validator