Theorem lindflbs 33439

Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindflbs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lindflbs.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
lindflbs.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lindflbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lindflbs	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindflbs.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3		lindflbs.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21812	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5		lindflbs.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
6		ssv 3946	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ V
7		f1ssr 6742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐼–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼–1-1→V)
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→V)
9		f1dm 6740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		f1eq2 6732	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
12	8, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
13		lindflbs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14		lindflbs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
15		lindflbs.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
16	15	islindf3 21806	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
17	13, 14, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
18	12, 17	mpbirand 708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
19	18	anbi1d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
20	4, 19	bitr4id 290	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  NzRingcnzr 20489  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  LBasisclbs 21069   LIndF clindf 21784  LIndSclinds 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-nzr 20490  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lbs 21070  df-lindf 21786  df-linds 21787

This theorem is referenced by:  islbs5  33440  fedgmul  33775