Theorem lindflbs 33758

Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindflbs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lindflbs.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
lindflbs.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lindflbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lindflbs	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindflbs.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3		lindflbs.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 22034	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5		lindflbs.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
6		ssv 3962	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ V
7		f1ssr 6786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐼–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼–1-1→V)
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→V)
9		f1dm 6784	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		f1eq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
11	5, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
12	8, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
13		lindflbs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14		lindflbs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
15		lindflbs.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
16	15	islindf3 22028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
17	13, 14, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
18	12, 17	mpbirand 720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
19	18	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
20	4, 19	bitr4id 293	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ran crn 5664  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  0_gc0g 17516  NzRingcnzr 20661  LModclmod 21033  LSpanclspn 21144  LBasisclbs 21247   LIndF clindf 22006  LIndSclinds 22007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-nzr 20662  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lbs 21248  df-lindf 22008  df-linds 22009

This theorem is used by:  islbs5  33759  fedgmul  34087