Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindflbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindflbs 32460
Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindflbs.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lindflbs.z 𝑂 = (0g𝑊)
lindflbs.y 0 = (0g𝑆)
lindflbs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2 (𝜑𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3 (𝜑𝐼𝑉)
lindflbs.4 (𝜑𝐹:𝐼1-1𝐵)
Assertion
Ref Expression
lindflbs (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs
StepHypRef Expression
1 lindflbs.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2733 . . 3 (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3 lindflbs.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3islbs4 21371 . 2 (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5 lindflbs.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼1-1𝐵)
6 ssv 4005 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ V
7 f1ssr 6791 . . . . . 6 ((𝐹:𝐼1-1𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼1-1→V)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐼1-1→V)
9 f1dm 6788 . . . . . 6 (𝐹:𝐼1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10 f1eq2 6780 . . . . . 6 (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹1-1→V ↔ 𝐹:𝐼1-1→V))
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹1-1→V ↔ 𝐹:𝐼1-1→V))
128, 11mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹1-1→V)
13 lindflbs.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
14 lindflbs.2 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ NzRing)
15 lindflbs.r . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
1615islindf3 21365 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
1713, 14, 16syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
1812, 17mpbirand 706 . . 3 (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
1918anbi1d 631 . 2 (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
204, 19bitr4id 290 1 (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  1-1wf1 6537  cfv 6540  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  NzRingcnzr 20280  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570  LBasisclbs 20673   LIndF clindf 21343  LIndSclinds 21344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-nzr 20281  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lbs 20674  df-lindf 21345  df-linds 21346
This theorem is referenced by:  islbs5  32461  fedgmul  32661
  Copyright terms: Public domain W3C validator