Theorem lindflbs 32769

Description: Conditions for an independent family to be a basis. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindflbs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindflbs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lindflbs.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lindflbs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lindflbs.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
lindflbs.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lindflbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindflbs.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lindflbs.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
lindflbs.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lindflbs.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lindflbs	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Proof of Theorem lindflbs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindflbs.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
3		lindflbs.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21606	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵))
5		lindflbs.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
6		ssv 4005	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ V
7		f1ssr 6793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐼–1-1→𝐵 ∧ ran 𝐹 ⊆ V) → 𝐹:𝐼–1-1→V)
8	5, 6, 7	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→V)
9		f1dm 6790	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		f1eq2 6782	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐼 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ↔ 𝐹:𝐼–1-1→V))
12	8, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
13		lindflbs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14		lindflbs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
15		lindflbs.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
16	15	islindf3 21600	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
17	13, 14, 16	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
18	12, 17	mpbirand 703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
19	18	anbi1d 628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
20	4, 19	bitr4id 289	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  0_gc0g 17389  NzRingcnzr 20403  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726  LBasisclbs 20829   LIndF clindf 21578  LIndSclinds 21579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lbs 20830  df-lindf 21580  df-linds 21581

This theorem is referenced by:  islbs5  32770  fedgmul  33004