Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrring 20656
 Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
psrring (𝜑𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 eqidd 2825 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
3 eqidd 2825 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
4 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringgrp 19302 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
94, 5, 8psrgrp 20643 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
10 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 eqid 2824 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1263ad2ant1 1130 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1134 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14 simp3 1135 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 20633 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
165adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
176adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2824 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simpr1 1191 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simpr2 1192 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21 simpr3 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 20650 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥(.r𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
23 eqid 2824 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 20651 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)(𝑦(+g𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(+g𝑆)(𝑥(.r𝑆)𝑧)))
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 20652 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r𝑆)𝑧)(+g𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
26 eqid 2824 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
27 eqid 2824 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
28 eqid 2824 . . 3 (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 20647 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
305adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
316adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 20648 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥)
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 20649 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 19338 1 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  ifcif 4450  {csn 4550   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ◡ccnv 5541   “ cima 5545  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505  0cc0 10535  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  1rcur 19251  Ringcrg 19297   mPwSer cmps 20596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-psr 20601 This theorem is referenced by:  psr1  20657  psrcrng  20658  psrassa  20659  subrgpsr  20664  mplsubrg  20685  opsrring  20881
 Copyright terms: Public domain W3C validator