MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrring 21161
Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
psrring (𝜑𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2740 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 eqidd 2740 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
3 eqidd 2740 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
4 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringgrp 19769 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
94, 5, 8psrgrp 21148 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
10 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 eqid 2739 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1263ad2ant1 1131 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1135 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14 simp3 1136 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 21138 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
165adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2739 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simpr1 1192 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simpr2 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21 simpr3 1194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 21155 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥(.r𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
23 eqid 2739 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 21156 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)(𝑦(+g𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(+g𝑆)(𝑥(.r𝑆)𝑧)))
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 21157 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r𝑆)𝑧)(+g𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
26 eqid 2739 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
27 eqid 2739 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
28 eqid 2739 . . 3 (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 21152 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
305adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 21153 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥)
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 21154 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 19805 1 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  {crab 3069  ifcif 4464  {csn 4566  cmpt 5161   × cxp 5586  ccnv 5587  cima 5591  cfv 6430  (class class class)co 7268  m cmap 8589  Fincfn 8707  0cc0 10855  cn 11956  0cn0 12216  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  .rcmulr 16944  0gc0g 17131  Grpcgrp 18558  1rcur 19718  Ringcrg 19764   mPwSer cmps 21088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-tset 16962  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-mulg 18682  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-psr 21093
This theorem is referenced by:  psr1  21162  psrcrng  21163  psrassa  21164  subrgpsr  21169  mplsubrg  21192  opsrring  21397
  Copyright terms: Public domain W3C validator