Theorem psrring 22310

Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
psrring	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆))
4		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		psrring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20502	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	4, 5, 7	psrgrp 22297	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
11	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
14	4, 9, 10, 11, 12, 13	psrmulcl 22287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
15	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
16	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
19		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
20		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
21	4, 15, 16, 17, 10, 9, 18, 19, 20	psrass1 22304	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
22		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
23	4, 15, 16, 17, 10, 9, 18, 19, 20, 22	psrdi 22305	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑆)𝑧)))
24	4, 15, 16, 17, 10, 9, 18, 19, 20, 22	psrdir 22306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑧)(+g‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
25		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
28	4, 5, 6, 17, 25, 26, 27, 9	psr1cl 22301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
29	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
32	4, 29, 30, 17, 25, 26, 27, 9, 10, 31	psrlidm 22302	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥)
33	4, 29, 30, 17, 25, 26, 27, 9, 10, 31	psrridm 22303	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = 𝑥)
34	1, 2, 3, 8, 14, 21, 23, 24, 28, 32, 33	isringd 20555	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  0cc0 11230  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642  1_rcur 20440  Ringcrg 20492   mPwSer cmps 22245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-mulg 19310  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-psr 22250

This theorem is used by:  psr1  22311  psrcrng  22312  psrassa  22313  subrgpsr  22318  psrascl  22319  psrasclcl  22320  mplsubrg  22345  psdascl  22522  opsrring  22595  psrnzr  34227  psrgsum  34263  mplmonprod  34269  rhmpsr  43815