MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrring 22008
Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
psrring (𝜑𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
3 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
4 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringgrp 20256 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
94, 5, 8psrgrp 21994 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
10 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 eqid 2735 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1263ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14 simp3 1137 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 21984 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
165adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2735 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simpr1 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simpr2 1194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21 simpr3 1195 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 22002 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥(.r𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
23 eqid 2735 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 22003 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)(𝑦(+g𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(+g𝑆)(𝑥(.r𝑆)𝑧)))
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 22004 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r𝑆)𝑧)(+g𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
26 eqid 2735 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
27 eqid 2735 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
28 eqid 2735 . . 3 (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 21999 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
305adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 22000 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥)
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 22001 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 20305 1 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  1rcur 20199  Ringcrg 20251   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  psr1  22009  psrcrng  22010  psrassa  22011  subrgpsr  22016  psrascl  22017  psrasclcl  22018  mplsubrg  22043  psdascl  22190  opsrring  22262  rhmpsr  42539
  Copyright terms: Public domain W3C validator