MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrring 21990
Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
psrring (𝜑𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
3 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
4 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringgrp 20235 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
94, 5, 8psrgrp 21976 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
10 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 eqid 2737 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1263ad2ant1 1134 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1138 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14 simp3 1139 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 21966 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
165adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2737 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simpr1 1195 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simpr2 1196 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21 simpr3 1197 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 21984 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥(.r𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
23 eqid 2737 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 21985 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)(𝑦(+g𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(+g𝑆)(𝑥(.r𝑆)𝑧)))
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 21986 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r𝑆)𝑧)(+g𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
26 eqid 2737 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
27 eqid 2737 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
28 eqid 2737 . . 3 (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 21981 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
305adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 21982 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥)
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 21983 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 20288 1 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  1rcur 20178  Ringcrg 20230   mPwSer cmps 21924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-psr 21929
This theorem is referenced by:  psr1  21991  psrcrng  21992  psrassa  21993  subrgpsr  21998  psrascl  21999  psrasclcl  22000  mplsubrg  22025  psdascl  22172  opsrring  22246  rhmpsr  42562
  Copyright terms: Public domain W3C validator