MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ivth2 25328
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ivth.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
ivth.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ivth.5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
ivth.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
ivth.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
ivth2.9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝐡   𝐷,𝑐,π‘₯   𝐹,𝑐,π‘₯   πœ‘,𝑐,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
43renegcld 11640 . . 3 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6 ivth.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
8 eqid 2724 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))
98negfcncf 24788 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
116sselda 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12 fveq2 6882 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
1312negeqd 11453 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘₯))
14 negex 11457 . . . . . 6 -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 6989 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
17 ivth.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817renegcld 11640 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
201rexrd 11263 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11263 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11361 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13442 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
256, 24sseldd 3976 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
26 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
2726negeqd 11453 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
28 negex 11457 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΄) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
3231simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄))
33 fveq2 6882 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
3433eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3605 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ))
3832, 37mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ)
3930, 38eqbrtrd 5161 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ)
4031simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ)
41 fveq2 6882 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
4241eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13443 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4542, 35, 44rspcdva 3605 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ↔ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅)))
4740, 46mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅))
486, 44sseldd 3976 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
49 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
5049negeqd 11453 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
51 negex 11457 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΅) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5447, 53breqtrrd 5167 . . . 4 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
5539, 54jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ ∧ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 25327 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ)
57 ioossicc 13411 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
5857, 6sstrid 3986 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
5958sselda 3975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
60 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
6160negeqd 11453 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘))
62 negex 11457 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6564eqeq1d 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ -(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ))
66 cncff 24757 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
6867ffvelcdmda 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6959, 68syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
703recnd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7170adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7269, 71neg11ad 11566 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7365, 72bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7473rexbidva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7556, 74mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  -cneg 11444  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328  β€“cnβ†’ccncf 24740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742
This theorem is referenced by:  ivthle2  25330  pilem3  26330  signsply0  34081
  Copyright terms: Public domain W3C validator