MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ivth2 24963
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ivth.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
ivth.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ivth.5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
ivth.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
ivth.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
ivth2.9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝐡   𝐷,𝑐,π‘₯   𝐹,𝑐,π‘₯   πœ‘,𝑐,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
43renegcld 11637 . . 3 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6 ivth.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
8 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))
98negfcncf 24430 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
116sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
1312negeqd 11450 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘₯))
14 negex 11454 . . . . . 6 -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 6995 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
17 ivth.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817renegcld 11637 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
201rexrd 11260 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11260 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11358 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13437 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
256, 24sseldd 3982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
26 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
2726negeqd 11450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
28 negex 11454 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΄) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 6995 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
3231simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄))
33 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
3433eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3613 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ))
3832, 37mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ)
3930, 38eqbrtrd 5169 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ)
4031simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ)
41 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
4241eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13438 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4542, 35, 44rspcdva 3613 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ↔ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅)))
4740, 46mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅))
486, 44sseldd 3982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
49 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
5049negeqd 11450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
51 negex 11454 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΅) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 6995 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5447, 53breqtrrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
5539, 54jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ ∧ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 24962 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ)
57 ioossicc 13406 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
5857, 6sstrid 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
5958sselda 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
60 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
6160negeqd 11450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘))
62 negex 11454 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 6995 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6564eqeq1d 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ -(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ))
66 cncff 24400 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
6867ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6959, 68syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
703recnd 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7170adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7269, 71neg11ad 11563 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7365, 72bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7473rexbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7556, 74mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  -cneg 11441  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  β€“cnβ†’ccncf 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385
This theorem is referenced by:  ivthle2  24965  pilem3  25956  signsply0  33550
  Copyright terms: Public domain W3C validator