Theorem ivth2 25432

Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
ivth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11568	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))
9	8	negfcncf 24900	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11	6	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
12		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
13	12	negeqd 11378	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑥))
14		negex 11382	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
15	13, 8, 14	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17		ivth.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
20	1	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 13408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
27	26	negeqd 11378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐴))
28		negex 11382	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐴) ∈ V
29	27, 8, 28	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
30	25, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
31		ivth2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
32	31	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
33		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
34	33	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
35	17	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35, 24	rspcdva 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
37	3, 36	ltnegd 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
38	32, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
39	30, 38	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
40	31	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
41		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
42	41	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
43		ubicc2 13409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	20, 21, 22, 43	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	42, 35, 44	rspcdva 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
46	45, 3	ltnegd 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
47	40, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
48	6, 44	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
49		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
50	49	negeqd 11378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐵))
51		negex 11382	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐵) ∈ V
52	50, 8, 51	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
53	48, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
54	47, 53	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵))
55	39, 54	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵)))
56	1, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55	ivth 25431	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57		ioossicc 13377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
58	57, 6	sstrid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	58	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
60		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑐))
61	60	negeqd 11378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑐))
62		negex 11382	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑐) ∈ V
63	61, 8, 62	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
64	59, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
65	64	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
66		cncff 24870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
67	7, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
69	59, 68	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
70	3	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
72	69, 71	neg11ad 11492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
73	65, 72	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
74	73	rexbidva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
75	56, 74	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  –cn→ccncf 24853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855

This theorem is referenced by:  ivthle2  25434  pilem3  26431  signsply0  34711