MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth2 24819
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 11582 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))
98negfcncf 24286 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
116sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
12 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
1312negeqd 11395 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑥))
14 negex 11399 . . . . . 6 -(𝐹𝑥) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
17 ivth.8 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 11582 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
201rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11303 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 13381 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2726negeqd 11395 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
28 negex 11399 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝐴𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3231simprd 496 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
33 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3433eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11733 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3832, 37mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
3930, 38eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
4031simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
41 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
4241eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13382 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4542, 35, 44rspcdva 3582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11733 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4740, 46mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
486, 44sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
49 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
5049negeqd 11395 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
51 negex 11399 . . . . . . 7 -(𝐹𝐵) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5447, 53breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
5539, 54jca 512 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 24818 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57 ioossicc 13350 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5857, 6sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
5958sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
60 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
6160negeqd 11395 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑐))
62 negex 11399 . . . . . . 7 -(𝐹𝑐) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑐𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6564eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
66 cncff 24256 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
6867ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
6959, 68syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
703recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
7170adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
7269, 71neg11ad 11508 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7365, 72bitrd 278 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7473rexbidva 3173 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
7556, 74mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cnccncf 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241
This theorem is referenced by:  ivthle2  24821  pilem3  25812  signsply0  33163
  Copyright terms: Public domain W3C validator