MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth2 25490
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 11690 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))
98negfcncf 24950 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
116sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
12 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
1312negeqd 11502 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑥))
14 negex 11506 . . . . . 6 -(𝐹𝑥) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
17 ivth.8 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 11690 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2841 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
201rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11409 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 13504 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2726negeqd 11502 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
28 negex 11506 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝐴𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3231simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
33 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3433eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11841 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3832, 37mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
3930, 38eqbrtrd 5165 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
4031simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
41 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
4241eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13505 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4542, 35, 44rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4740, 46mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
486, 44sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
49 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
5049negeqd 11502 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
51 negex 11506 . . . . . . 7 -(𝐹𝐵) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5447, 53breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
5539, 54jca 511 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 25489 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57 ioossicc 13473 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5857, 6sstrid 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
5958sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
60 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
6160negeqd 11502 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑐))
62 negex 11506 . . . . . . 7 -(𝐹𝑐) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑐𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6564eqeq1d 2739 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
66 cncff 24919 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
6867ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
6959, 68syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
703recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
7170adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
7269, 71neg11ad 11616 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7365, 72bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7473rexbidva 3177 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
7556, 74mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  ivthle2  25492  pilem3  26497  signsply0  34566
  Copyright terms: Public domain W3C validator