MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth2 25504
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 11688 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2735 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))
98negfcncf 24964 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
116sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
12 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
1312negeqd 11500 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑥))
14 negex 11504 . . . . . 6 -(𝐹𝑥) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
17 ivth.8 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 11688 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
201rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11407 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 13501 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2726negeqd 11500 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
28 negex 11504 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝐴𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3231simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
33 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3433eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3832, 37mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
3930, 38eqbrtrd 5170 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
4031simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
41 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
4241eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13502 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4542, 35, 44rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11839 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4740, 46mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
486, 44sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
49 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
5049negeqd 11500 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
51 negex 11504 . . . . . . 7 -(𝐹𝐵) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5447, 53breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
5539, 54jca 511 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 25503 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57 ioossicc 13470 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5857, 6sstrid 4007 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
5958sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
60 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
6160negeqd 11500 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑐))
62 negex 11504 . . . . . . 7 -(𝐹𝑐) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑐𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6564eqeq1d 2737 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
66 cncff 24933 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
6867ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
6959, 68syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
703recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
7170adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
7269, 71neg11ad 11614 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7365, 72bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7473rexbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
7556, 74mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  ivthle2  25506  pilem3  26512  signsply0  34545
  Copyright terms: Public domain W3C validator