Theorem ivth2 25575

Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
ivth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11629	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))
9	8	negfcncf 25043	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11	6	sselda 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
12		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
13	12	negeqd 11439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑥))
14		negex 11443	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
15	13, 8, 14	fvmpt 6979	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
16	11, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17		ivth.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11629	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
20	1	rexrd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 13482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
27	26	negeqd 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐴))
28		negex 11443	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐴) ∈ V
29	27, 8, 28	fvmpt 6979	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
30	25, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
31		ivth2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
32	31	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
33		fveq2 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
34	33	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
35	17	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35, 24	rspcdva 3585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
37	3, 36	ltnegd 11780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
38	32, 37	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
39	30, 38	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
40	31	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
41		fveq2 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
42	41	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
43		ubicc2 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	20, 21, 22, 43	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	42, 35, 44	rspcdva 3585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
46	45, 3	ltnegd 11780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
47	40, 46	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
48	6, 44	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
49		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
50	49	negeqd 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐵))
51		negex 11443	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐵) ∈ V
52	50, 8, 51	fvmpt 6979	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
53	48, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
54	47, 53	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵))
55	39, 54	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵)))
56	1, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55	ivth 25574	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57		ioossicc 13451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
58	57, 6	sstrid 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	58	sselda 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
60		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑐))
61	60	negeqd 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑐))
62		negex 11443	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑐) ∈ V
63	61, 8, 62	fvmpt 6979	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
64	59, 63	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
65	64	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
66		cncff 25013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
67	7, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
69	59, 68	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
70	3	recnd 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
71	70	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
72	69, 71	neg11ad 11553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
73	65, 72	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
74	73	rexbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
75	56, 74	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  -cneg 11430  (,)cioo 13363  [,]cicc 13366  –cn→ccncf 24996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998

This theorem is referenced by:  ivthle2  25577  pilem3  26574  signsply0  34855