Theorem ivth2 25687

Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
ivth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11668	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))
9	8	negfcncf 25155	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11	6	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
12		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
13	12	negeqd 11478	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑥))
14		negex 11482	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
15	13, 8, 14	fvmpt 6990	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
16	11, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17		ivth.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
20	1	rexrd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 13519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
27	26	negeqd 11478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐴))
28		negex 11482	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐴) ∈ V
29	27, 8, 28	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
30	25, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
31		ivth2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
32	31	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
33		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
34	33	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
35	17	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35, 24	rspcdva 3580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
37	3, 36	ltnegd 11819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
38	32, 37	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
39	30, 38	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
40	31	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
41		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
42	41	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
43		ubicc2 13520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	20, 21, 22, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	42, 35, 44	rspcdva 3580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
46	45, 3	ltnegd 11819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
47	40, 46	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
48	6, 44	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
49		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
50	49	negeqd 11478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐵))
51		negex 11482	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐵) ∈ V
52	50, 8, 51	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
53	48, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
54	47, 53	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵))
55	39, 54	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵)))
56	1, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55	ivth 25686	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57		ioossicc 13488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
58	57, 6	sstrid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	58	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
60		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑐))
61	60	negeqd 11478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑐))
62		negex 11482	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑐) ∈ V
63	61, 8, 62	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
64	59, 63	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
65	64	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
66		cncff 25125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
67	7, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
69	59, 68	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
70	3	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
71	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
72	69, 71	neg11ad 11592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
73	65, 72	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
74	73	rexbidva 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
75	56, 74	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  -cneg 11469  (,)cioo 13400  [,]cicc 13403  –cn→ccncf 25108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110

This theorem is used by:  ivthle2  25689  pilem3  26689  signsply0  35061