Theorem ivth2 25490

Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
ivth2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11690	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))
9	8	negfcncf 24950	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11	6	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
12		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
13	12	negeqd 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑥))
14		negex 11506	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
15	13, 8, 14	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17		ivth.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 11690	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
20	1	rexrd 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 11409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 13504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
27	26	negeqd 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐴))
28		negex 11506	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐴) ∈ V
29	27, 8, 28	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
30	25, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
31		ivth2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
32	31	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
33		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
34	33	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
35	17	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35, 24	rspcdva 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
37	3, 36	ltnegd 11841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
38	32, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
39	30, 38	eqbrtrd 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
40	31	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
41		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
42	41	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
43		ubicc2 13505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	20, 21, 22, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	42, 35, 44	rspcdva 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
46	45, 3	ltnegd 11841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
47	40, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
48	6, 44	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
49		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
50	49	negeqd 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝐵))
51		negex 11506	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝐵) ∈ V
52	50, 8, 51	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
53	48, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
54	47, 53	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵))
55	39, 54	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝐵)))
56	1, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55	ivth 25489	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57		ioossicc 13473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
58	57, 6	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
59	58	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
60		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑐))
61	60	negeqd 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑦) = -(𝐹‘𝑐))
62		negex 11506	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑐) ∈ V
63	61, 8, 62	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐷 → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
64	59, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
65	64	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
66		cncff 24919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
67	7, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
69	59, 68	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
70	3	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
71	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
72	69, 71	neg11ad 11616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
73	65, 72	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
74	73	rexbidva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
75	56, 74	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904

This theorem is referenced by:  ivthle2  25492  pilem3  26497  signsply0  34566