MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ivth2 25383
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ivth.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
ivth.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ivth.5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
ivth.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
ivth.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
ivth2.9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝐡   𝐷,𝑐,π‘₯   𝐹,𝑐,π‘₯   πœ‘,𝑐,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,π‘₯
Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
43renegcld 11671 . . 3 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6 ivth.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
8 eqid 2728 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))
98negfcncf 24843 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
116sselda 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
1312negeqd 11484 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘₯))
14 negex 11488 . . . . . 6 -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 7005 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
17 ivth.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817renegcld 11671 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
201rexrd 11294 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 11294 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 11392 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
256, 24sseldd 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
26 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
2726negeqd 11484 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΄))
28 negex 11488 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΄) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 7005 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
3231simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄))
33 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
3433eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3610 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 11822 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ))
3832, 37mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ)
3930, 38eqbrtrd 5170 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ)
4031simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ)
41 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
4241eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ))
43 ubicc2 13474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4542, 35, 44rspcdva 3610 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 11822 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ↔ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅)))
4740, 46mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅))
486, 44sseldd 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
49 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΅))
5049negeqd 11484 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π΅))
51 negex 11488 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π΅) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 7005 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5447, 53breqtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅))
5539, 54jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΄) < -π‘ˆ ∧ -π‘ˆ < ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π΅)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 25382 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ)
57 ioossicc 13442 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
5857, 6sstrid 3991 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
5958sselda 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
60 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
6160negeqd 11484 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘))
62 negex 11488 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 7005 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6564eqeq1d 2730 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ -(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ))
66 cncff 24812 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
6867ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6959, 68syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
703recnd 11272 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7170adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
7269, 71neg11ad 11597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7365, 72bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7473rexbidva 3173 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘¦))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
7556, 74mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  β„cr 11137  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  -cneg 11475  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  β€“cnβ†’ccncf 24795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797
This theorem is referenced by:  ivthle2  25385  pilem3  26389  signsply0  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator