MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsbergiedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergiedg 30044
Description: The indexed edges of the Kânigsberg graph 𝐺. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
konigsberg.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
Assertion
Ref Expression
konigsbergiedg (iEdgβ€˜πΊ) = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©

Proof of Theorem konigsbergiedg
StepHypRef Expression
1 konigsberg.g . . . 4 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
2 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
3 konigsberg.e . . . . 5 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
42, 3opeq12i 4874 . . . 4 βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩ = ⟨(0...3), βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©βŸ©
51, 4eqtri 2755 . . 3 𝐺 = ⟨(0...3), βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©βŸ©
65fveq2i 6894 . 2 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜βŸ¨(0...3), βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©βŸ©)
7 ovex 7447 . . 3 (0...3) ∈ V
8 s7cli 14860 . . 3 βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ© ∈ Word V
9 opiedgfv 28807 . . 3 (((0...3) ∈ V ∧ βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ© ∈ Word V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨(0...3), βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©βŸ©) = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©)
107, 8, 9mp2an 691 . 2 (iEdgβ€˜βŸ¨(0...3), βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©βŸ©) = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
116, 10eqtri 2755 1 (iEdgβ€˜πΊ) = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  2c2 12289  3c3 12290  ...cfz 13508  Word cword 14488  βŸ¨β€œcs7 14821  iEdgciedg 28797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-s4 14825  df-s5 14826  df-s6 14827  df-s7 14828  df-iedg 28799
This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  30048  konigsberglem1  30049  konigsberglem2  30050  konigsberglem3  30051
  Copyright terms: Public domain W3C validator