Theorem kur14lem10 35195

Description: Lemma for kur14 35196. Discharge the set 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem10.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem10.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem10.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem10.s	⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
kur14lem10.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem10	⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem kur14lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem10.j	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		kur14lem10.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		kur14lem10.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (int‘𝐽) = (int‘𝐽)
5		kur14lem10.a	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)) = (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))
7		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))
8		eqid 2729	. 2 ⊢ ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)) = ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))
9		eqid 2729	. 2 ⊢ ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))})) = ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))}))
10		kur14lem10.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	kur14lem9 35194	1 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  {cpr 4587  {ctp 4589  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  1c1 11045   ≤ cle 11185  4c4 12219  ;cdc 12625  ♯chash 14271  Topctop 22813  intcnt 22937  clsccl 22938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-top 22814  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941

This theorem is referenced by:  kur14  35196