Theorem kur14lem10 35417

Description: Lemma for kur14 35418. Discharge the set 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem10.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem10.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem10.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem10.s	⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
kur14lem10.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem10	⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem kur14lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem10.j	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		kur14lem10.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		kur14lem10.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (int‘𝐽) = (int‘𝐽)
5		kur14lem10.a	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)) = (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))
7		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))
8		eqid 2737	. 2 ⊢ ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)) = ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))})) = ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))}))
10		kur14lem10.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	kur14lem9 35416	1 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  {ctp 4572  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  Fincfn 8888  1c1 11034   ≤ cle 11175  4c4 12233  ;cdc 12639  ♯chash 14287  Topctop 22872  intcnt 22996  clsccl 22997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-top 22873  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000

This theorem is referenced by:  kur14  35418