Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kur14lem10 33476
Description: Lemma for kur14 33477. Discharge the set 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem10.j 𝐽 ∈ Top
kur14lem10.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
kur14lem10.k 𝐾 = (clsβ€˜π½)
kur14lem10.s 𝑆 = ∩ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ {(𝑋 βˆ– 𝑦), (πΎβ€˜π‘¦)} βŠ† π‘₯)}
kur14lem10.a 𝐴 βŠ† 𝑋
Assertion
Ref Expression
kur14lem10 (𝑆 ∈ Fin ∧ (β™―β€˜π‘†) ≀ 14)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kur14lem10
StepHypRef Expression
1 kur14lem10.j . 2 𝐽 ∈ Top
2 kur14lem10.x . 2 𝑋 = βˆͺ 𝐽
3 kur14lem10.k . 2 𝐾 = (clsβ€˜π½)
4 eqid 2736 . 2 (intβ€˜π½) = (intβ€˜π½)
5 kur14lem10.a . 2 𝐴 βŠ† 𝑋
6 eqid 2736 . 2 (𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄)) = (𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄))
7 eqid 2736 . 2 (πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴)) = (πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴))
8 eqid 2736 . 2 ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄)) = ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄))
9 eqid 2736 . 2 ((({𝐴, (𝑋 βˆ– 𝐴), (πΎβ€˜π΄)} βˆͺ {(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄)), (πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴)), ((intβ€˜π½)β€˜π΄)}) βˆͺ {(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄)), (πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜π΄))}) βˆͺ ({((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴))), (πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄))))} βˆͺ {(πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴)))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜π΄)))})) = ((({𝐴, (𝑋 βˆ– 𝐴), (πΎβ€˜π΄)} βˆͺ {(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄)), (πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴)), ((intβ€˜π½)β€˜π΄)}) βˆͺ {(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄)), (πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜π΄))}) βˆͺ ({((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴))), (πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜π΄))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– (πΎβ€˜π΄))))} βˆͺ {(πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜(𝑋 βˆ– 𝐴)))), ((intβ€˜π½)β€˜(πΎβ€˜((intβ€˜π½)β€˜π΄)))}))
10 kur14lem10.s . 2 𝑆 = ∩ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ {(𝑋 βˆ– 𝑦), (πΎβ€˜π‘¦)} βŠ† π‘₯)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10kur14lem9 33475 1 (𝑆 ∈ Fin ∧ (β™―β€˜π‘†) ≀ 14)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  {crab 3403   βˆ– cdif 3895   βˆͺ cun 3896   βŠ† wss 3898  π’« cpw 4547  {cpr 4575  {ctp 4577  βˆͺ cuni 4852  βˆ© cint 4894   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  Fincfn 8804  1c1 10973   ≀ cle 11111  4c4 12131  cdc 12538  β™―chash 14145  Topctop 22148  intcnt 22274  clsccl 22275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-hash 14146  df-top 22149  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278
This theorem is referenced by:  kur14  33477
  Copyright terms: Public domain W3C validator