Theorem kur14lem10 34501

Description: Lemma for kur14 34502. Discharge the set 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem10.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem10.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem10.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem10.s	⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
kur14lem10.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem10	⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem kur14lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem10.j	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		kur14lem10.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		kur14lem10.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
4		eqid 2731	. 2 ⊢ (int‘𝐽) = (int‘𝐽)
5		kur14lem10.a	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
6		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)) = (𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))
7		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))
8		eqid 2731	. 2 ⊢ ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)) = ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))
9		eqid 2731	. 2 ⊢ ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))})) = ((({𝐴, (𝑋 ∖ 𝐴), (𝐾‘𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴)), (𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾‘𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ 𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))}))
10		kur14lem10.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 {(𝑋 ∖ 𝑦), (𝐾‘𝑦)} ⊆ 𝑥)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	kur14lem9 34500	1 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ ;14)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  {crab 3431   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  {cpr 4631  {ctp 4633  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4951   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Fincfn 8942  1c1 11114   ≤ cle 11254  4c4 12274  ;cdc 12682  ♯chash 14295  Topctop 22616  intcnt 22742  clsccl 22743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-top 22617  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746

This theorem is referenced by:  kur14  34502