Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kur14lem10 31796
 Description: Lemma for kur14 31797. Discharge the set 𝑇. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem10.j 𝐽 ∈ Top
kur14lem10.x 𝑋 = 𝐽
kur14lem10.k 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem10.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 {(𝑋𝑦), (𝐾𝑦)} ⊆ 𝑥)}
kur14lem10.a 𝐴𝑋
Assertion
Ref Expression
kur14lem10 (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ 14)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem kur14lem10
StepHypRef Expression
1 kur14lem10.j . 2 𝐽 ∈ Top
2 kur14lem10.x . 2 𝑋 = 𝐽
3 kur14lem10.k . 2 𝐾 = (cls‘𝐽)
4 eqid 2777 . 2 (int‘𝐽) = (int‘𝐽)
5 kur14lem10.a . 2 𝐴𝑋
6 eqid 2777 . 2 (𝑋 ∖ (𝐾𝐴)) = (𝑋 ∖ (𝐾𝐴))
7 eqid 2777 . 2 (𝐾‘(𝑋𝐴)) = (𝐾‘(𝑋𝐴))
8 eqid 2777 . 2 ((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴)) = ((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴))
9 eqid 2777 . 2 ((({𝐴, (𝑋𝐴), (𝐾𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾𝐴)), (𝐾‘(𝑋𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))})) = ((({𝐴, (𝑋𝐴), (𝐾𝐴)} ∪ {(𝑋 ∖ (𝐾𝐴)), (𝐾‘(𝑋𝐴)), ((int‘𝐽)‘𝐴)}) ∪ {(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴)), (𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴))}) ∪ ({((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋𝐴))), (𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾𝐴))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋 ∖ (𝐾𝐴))))} ∪ {(𝐾‘((int‘𝐽)‘(𝐾‘(𝑋𝐴)))), ((int‘𝐽)‘(𝐾‘((int‘𝐽)‘𝐴)))}))
10 kur14lem10.s . 2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 {(𝑋𝑦), (𝐾𝑦)} ⊆ 𝑥)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10kur14lem9 31795 1 (𝑆 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑆) ≤ 14)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  {crab 3093   ∖ cdif 3788   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  𝒫 cpw 4378  {cpr 4399  {ctp 4401  ∪ cuni 4671  ∩ cint 4710   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  Fincfn 8241  1c1 10273   ≤ cle 10412  4c4 11432  ;cdc 11845  ♯chash 13435  Topctop 21105  intcnt 21229  clsccl 21230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-top 21106  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233 This theorem is referenced by:  kur14  31797
 Copyright terms: Public domain W3C validator