Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem1 36671
Description: Lemma for lcvexch 36676. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19849 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
64, 5sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
84, 7sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
109lsmub1 18900 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
116, 8, 10syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
12 inss2 4120 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
1411, 132thd 268 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈))
159lsmss2b 18912 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
166, 8, 15syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
17 eqcom 2745 . . . . . 6 ((𝑇 𝑈) = 𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈))
1816, 17bitrdi 290 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈)))
19 sseqin2 4106 . . . . 5 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2018, 19bitr3di 289 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈))
2120necon3bid 2978 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2214, 21anbi12d 634 . 2 (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈)))
23 df-pss 3862 . 2 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)))
24 df-pss 3862 . 2 ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2522, 23, 243bitr4g 317 1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cin 3842  wss 3843  wpss 3844  cfv 6339  (class class class)co 7170  SubGrpcsubg 18391  LSSumclsm 18877  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  L clcv 36655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-lsm 18879  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-lss 19823
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  36674  lcvexchlem5  36675
  Copyright terms: Public domain W3C validator