Theorem lcvexchlem1 38398

Description: Lemma for lcvexch 38403. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem1	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	9	lsmub1 19569	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
11	6, 8, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
12		inss2 4222	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	11, 13	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈))
15	9	lsmss2b 19580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
16	6, 8, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
17		eqcom 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19		sseqin2 4208	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
20	18, 19	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
21	20	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
22	14, 21	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈)))
23		df-pss 3960	. 2 ⊢ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
24		df-pss 3960	. 2 ⊢ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
25	22, 23, 24	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941   ⊊ wpss 3942  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  SubGrpcsubg 19039  LSSumclsm 19546  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770   ⋖_L clcv 38382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-lsm 19548  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-lss 20771

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  38401  lcvexchlem5  38402