Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem1 36169
Description: Lemma for lcvexch 36174. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19729 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
64, 5sseldd 3967 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
84, 7sseldd 3967 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
109lsmub1 18781 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
116, 8, 10syl2anc 586 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
12 inss2 4205 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
1411, 132thd 267 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈))
15 sseqin2 4191 . . . . 5 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
169lsmss2b 18793 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
176, 8, 16syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
18 eqcom 2828 . . . . . 6 ((𝑇 𝑈) = 𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈))
1917, 18syl6bb 289 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈)))
2015, 19syl5rbbr 288 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈))
2120necon3bid 3060 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2214, 21anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈)))
23 df-pss 3953 . 2 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)))
24 df-pss 3953 . 2 ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2522, 23, 243bitr4g 316 1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cin 3934  wss 3935  wpss 3936  cfv 6354  (class class class)co 7155  SubGrpcsubg 18272  LSSumclsm 18758  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702  L clcv 36153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-lsm 18760  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-lss 19703
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  36172  lcvexchlem5  36173
  Copyright terms: Public domain W3C validator