Theorem lcvexchlem1 39052

Description: Lemma for lcvexch 39057. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem1	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	9	lsmub1 19562	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
11	6, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
12		inss2 4186	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	11, 13	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈))
15	9	lsmss2b 19573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
16	6, 8, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
17		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19		sseqin2 4171	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
20	18, 19	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
21	20	necon3bid 2970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
22	14, 21	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈)))
23		df-pss 3920	. 2 ⊢ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
24		df-pss 3920	. 2 ⊢ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
25	22, 23, 24	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 3901  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  SubGrpcsubg 19025  LSSumclsm 19539  LModclmod 20786  LSubSpclss 20857   ⋖_L clcv 39036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-lsm 19541  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-lmod 20788  df-lss 20858

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39055  lcvexchlem5  39056