Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem1 38398
Description: Lemma for lcvexch 38403. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 20797 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
64, 5sseldd 3976 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
84, 7sseldd 3976 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
109lsmub1 19569 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
116, 8, 10syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
12 inss2 4222 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
1411, 132thd 265 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈))
159lsmss2b 19580 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
166, 8, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑇 ↔ (𝑇 𝑈) = 𝑇))
17 eqcom 2731 . . . . . 6 ((𝑇 𝑈) = 𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈))
1816, 17bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑇𝑇 = (𝑇 𝑈)))
19 sseqin2 4208 . . . . 5 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2018, 19bitr3di 286 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈))
2120necon3bid 2977 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2214, 21anbi12d 630 . 2 (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈)))
23 df-pss 3960 . 2 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 𝑈)))
24 df-pss 3960 . 2 ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ≠ 𝑈))
2522, 23, 243bitr4g 314 1 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cin 3940  wss 3941  wpss 3942  cfv 6534  (class class class)co 7402  SubGrpcsubg 19039  LSSumclsm 19546  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  L clcv 38382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-lsm 19548  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-lss 20771
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  38401  lcvexchlem5  38402
  Copyright terms: Public domain W3C validator