Theorem lcvexchlem1 38992

Description: Lemma for lcvexch 38997. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem1	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Proof of Theorem lcvexchlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	9	lsmub1 19701	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
11	6, 8, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
12		inss2 4259	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	11, 13	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈))
15	9	lsmss2b 19712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
16	6, 8, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇))
17		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) = 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19		sseqin2 4244	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
20	18, 19	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
21	20	necon3bid 2991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
22	14, 21	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈)))
23		df-pss 3996	. 2 ⊢ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∧ 𝑇 ≠ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
24		df-pss 3996	. 2 ⊢ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈 ↔ ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ≠ 𝑈))
25	22, 23, 24	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊊ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  SubGrpcsubg 19162  LSSumclsm 19678  LModclmod 20882  LSubSpclss 20954   ⋖_L clcv 38976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-lsm 19680  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-lss 20955

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  38995  lcvexchlem5  38996