Theorem lcvexch 38943

Description: Subspaces satisfy the exchange axiom. Lemma 7.5 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvexchi 32392 analog.) TODO: combine some lemmas. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexch	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lcvexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvexch.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvexch.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇 ∈ 𝑆)
8		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	lcvexchlem5 38942	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
12	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
13	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
16	1, 2, 3, 12, 13, 14, 15	lcvexchlem4 38941	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
17	11, 16	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ∩ cin 3969   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  LSSumclsm 19671  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947   ⋖_L clcv 38922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-0g 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-cntz 19352  df-oppg 19381  df-lsm 19673  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lcv 38923

This theorem is referenced by:  lcvp  38944