Theorem lcvexch 38420

Description: Subspaces satisfy the exchange axiom. Lemma 7.5 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvexchi 32127 analog.) TODO: combine some lemmas. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexch	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lcvexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvexch.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvexch.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇 ∈ 𝑆)
8		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	lcvexchlem5 38419	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
12	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
13	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
16	1, 2, 3, 12, 13, 14, 15	lcvexchlem4 38418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
17	11, 16	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  LSSumclsm 19552  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776   ⋖_L clcv 38399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lcv 38400

This theorem is referenced by:  lcvp  38421