Theorem lcvexch 39144

Description: Subspaces satisfy the exchange axiom. Lemma 7.5 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvexchi 32356 analog.) TODO: combine some lemmas. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvexch	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lcvexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lcvexch.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		lcvexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lcvexch.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇 ∈ 𝑆)
8		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	lcvexchlem5 39143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
12	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
13	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈))
16	1, 2, 3, 12, 13, 14, 15	lcvexchlem4 39142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈)
17	11, 16	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈)𝐶𝑈 ↔ 𝑇𝐶(𝑇 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  LSSumclsm 19552  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870   ⋖_L clcv 39123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-0g 17351  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cntz 19235  df-oppg 19264  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lcv 39124

This theorem is referenced by:  lcvp  39145