Theorem lsssssubg 21053

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 21052	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 417	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3951	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  SubGrpcsubg 19182  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027

This theorem is referenced by:  lsmsp  21181  lspprabs  21190  pj1lmhm  21195  pj1lmhm2  21196  lspindpi  21230  lvecindp  21236  lsmcv  21239  pjdm2  21826  pjf2  21829  pjfo  21830  ocvpj  21832  pjthlem2  25562  lshpnel  39642  lshpnelb  39643  lsmsat  39667  lrelat  39673  lsmcv2  39688  lcvexchlem1  39693  lcvexchlem2  39694  lcvexchlem3  39695  lcvexchlem4  39696  lcvexchlem5  39697  lcv1  39700  lcv2  39701  lsatexch  39702  lsatcv0eq  39706  lsatcvatlem  39708  lsatcvat  39709  lsatcvat3  39711  l1cvat  39714  lkrlsp  39761  lshpsmreu  39768  lshpkrlem5  39773  dia2dimlem5  41727  dia2dimlem9  41731  dvhopellsm  41776  diblsmopel  41830  cdlemn5pre  41859  cdlemn11c  41868  dihjustlem  41875  dihord1  41877  dihord2a  41878  dihord2b  41879  dihord11c  41883  dihord6apre  41915  dihord5b  41918  dihord5apre  41921  dihjatc3  41972  dihmeetlem9N  41974  dihjatcclem1  42077  dihjatcclem2  42078  dihjat  42082  dvh3dim3N  42108  dochexmidlem2  42120  dochexmidlem6  42124  dochexmidlem7  42125  lclkrlem2b  42167  lclkrlem2f  42171  lclkrlem2v  42187  lclkrslem2  42197  lcfrlem23  42224  lcfrlem25  42226  lcfrlem35  42236  mapdlsm  42323  mapdpglem3  42334  mapdindp0  42378  lspindp5  42429  hdmaprnlem3eN  42517  hdmapglem7a  42586