Theorem lsssssubg 21058

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 21057	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 417	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3942	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  SubGrpcsubg 19185  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20962  df-lss 21032

This theorem is referenced by:  lsmsp  21186  lspprabs  21195  pj1lmhm  21200  pj1lmhm2  21201  lspindpi  21235  lvecindp  21241  lsmcv  21244  pjdm2  21840  pjf2  21843  pjfo  21844  ocvpj  21846  pjthlem2  25576  lshpnel  39703  lshpnelb  39704  lsmsat  39728  lrelat  39734  lsmcv2  39749  lcvexchlem1  39754  lcvexchlem2  39755  lcvexchlem3  39756  lcvexchlem4  39757  lcvexchlem5  39758  lcv1  39761  lcv2  39762  lsatexch  39763  lsatcv0eq  39767  lsatcvatlem  39769  lsatcvat  39770  lsatcvat3  39772  l1cvat  39775  lkrlsp  39822  lshpsmreu  39829  lshpkrlem5  39834  dia2dimlem5  41788  dia2dimlem9  41792  dvhopellsm  41837  diblsmopel  41891  cdlemn5pre  41920  cdlemn11c  41929  dihjustlem  41936  dihord1  41938  dihord2a  41939  dihord2b  41940  dihord11c  41944  dihord6apre  41976  dihord5b  41979  dihord5apre  41982  dihjatc3  42033  dihmeetlem9N  42035  dihjatcclem1  42138  dihjatcclem2  42139  dihjat  42143  dvh3dim3N  42169  dochexmidlem2  42181  dochexmidlem6  42185  dochexmidlem7  42186  lclkrlem2b  42228  lclkrlem2f  42232  lclkrlem2v  42248  lclkrslem2  42258  lcfrlem23  42285  lcfrlem25  42287  lcfrlem35  42297  mapdlsm  42384  mapdpglem3  42395  mapdindp0  42439  lspindp5  42490  hdmaprnlem3eN  42578  hdmapglem7a  42647