Theorem lsssssubg 20944

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20943	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  SubGrpcsubg 19087  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918

This theorem is referenced by:  lsmsp  21073  lspprabs  21082  pj1lmhm  21087  pj1lmhm2  21088  lspindpi  21122  lvecindp  21128  lsmcv  21131  pjdm2  21701  pjf2  21704  pjfo  21705  ocvpj  21707  pjthlem2  25415  lshpnel  39443  lshpnelb  39444  lsmsat  39468  lrelat  39474  lsmcv2  39489  lcvexchlem1  39494  lcvexchlem2  39495  lcvexchlem3  39496  lcvexchlem4  39497  lcvexchlem5  39498  lcv1  39501  lcv2  39502  lsatexch  39503  lsatcv0eq  39507  lsatcvatlem  39509  lsatcvat  39510  lsatcvat3  39512  l1cvat  39515  lkrlsp  39562  lshpsmreu  39569  lshpkrlem5  39574  dia2dimlem5  41528  dia2dimlem9  41532  dvhopellsm  41577  diblsmopel  41631  cdlemn5pre  41660  cdlemn11c  41669  dihjustlem  41676  dihord1  41678  dihord2a  41679  dihord2b  41680  dihord11c  41684  dihord6apre  41716  dihord5b  41719  dihord5apre  41722  dihjatc3  41773  dihmeetlem9N  41775  dihjatcclem1  41878  dihjatcclem2  41879  dihjat  41883  dvh3dim3N  41909  dochexmidlem2  41921  dochexmidlem6  41925  dochexmidlem7  41926  lclkrlem2b  41968  lclkrlem2f  41972  lclkrlem2v  41988  lclkrslem2  41998  lcfrlem23  42025  lcfrlem25  42027  lcfrlem35  42037  mapdlsm  42124  mapdpglem3  42135  mapdindp0  42179  lspindp5  42230  hdmaprnlem3eN  42318  hdmapglem7a  42387