Theorem lsssssubg 19353

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 19352	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 403	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3827	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ‘cfv 6135  SubGrpcsubg 17972  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325

This theorem is referenced by:  lsmsp  19481  lspprabs  19490  pj1lmhm  19495  pj1lmhm2  19496  lspindpi  19528  lvecindp  19534  lsmcv  19537  pjdm2  20454  pjf2  20457  pjfo  20458  ocvpj  20460  pjthlem2  23644  lshpnel  35137  lshpnelb  35138  lsmsat  35162  lrelat  35168  lsmcv2  35183  lcvexchlem1  35188  lcvexchlem2  35189  lcvexchlem3  35190  lcvexchlem4  35191  lcvexchlem5  35192  lcv1  35195  lcv2  35196  lsatexch  35197  lsatcv0eq  35201  lsatcvatlem  35203  lsatcvat  35204  lsatcvat3  35206  l1cvat  35209  lkrlsp  35256  lshpsmreu  35263  lshpkrlem5  35268  dia2dimlem5  37222  dia2dimlem9  37226  dvhopellsm  37271  diblsmopel  37325  cdlemn5pre  37354  cdlemn11c  37363  dihjustlem  37370  dihord1  37372  dihord2a  37373  dihord2b  37374  dihord11c  37378  dihord6apre  37410  dihord5b  37413  dihord5apre  37416  dihjatc3  37467  dihmeetlem9N  37469  dihjatcclem1  37572  dihjatcclem2  37573  dihjat  37577  dvh3dim3N  37603  dochexmidlem2  37615  dochexmidlem6  37619  dochexmidlem7  37620  lclkrlem2b  37662  lclkrlem2f  37666  lclkrlem2v  37682  lclkrslem2  37692  lcfrlem23  37719  lcfrlem25  37721  lcfrlem35  37731  mapdlsm  37818  mapdpglem3  37829  mapdindp0  37873  lspindp5  37924  hdmaprnlem3eN  38012  hdmapglem7a  38081