Theorem lsssssubg 20871

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20870	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  SubGrpcsubg 19059  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845

This theorem is referenced by:  lsmsp  21000  lspprabs  21009  pj1lmhm  21014  pj1lmhm2  21015  lspindpi  21049  lvecindp  21055  lsmcv  21058  pjdm2  21627  pjf2  21630  pjfo  21631  ocvpj  21633  pjthlem2  25345  lshpnel  38983  lshpnelb  38984  lsmsat  39008  lrelat  39014  lsmcv2  39029  lcvexchlem1  39034  lcvexchlem2  39035  lcvexchlem3  39036  lcvexchlem4  39037  lcvexchlem5  39038  lcv1  39041  lcv2  39042  lsatexch  39043  lsatcv0eq  39047  lsatcvatlem  39049  lsatcvat  39050  lsatcvat3  39052  l1cvat  39055  lkrlsp  39102  lshpsmreu  39109  lshpkrlem5  39114  dia2dimlem5  41069  dia2dimlem9  41073  dvhopellsm  41118  diblsmopel  41172  cdlemn5pre  41201  cdlemn11c  41210  dihjustlem  41217  dihord1  41219  dihord2a  41220  dihord2b  41221  dihord11c  41225  dihord6apre  41257  dihord5b  41260  dihord5apre  41263  dihjatc3  41314  dihmeetlem9N  41316  dihjatcclem1  41419  dihjatcclem2  41420  dihjat  41424  dvh3dim3N  41450  dochexmidlem2  41462  dochexmidlem6  41466  dochexmidlem7  41467  lclkrlem2b  41509  lclkrlem2f  41513  lclkrlem2v  41529  lclkrslem2  41539  lcfrlem23  41566  lcfrlem25  41568  lcfrlem35  41578  mapdlsm  41665  mapdpglem3  41676  mapdindp0  41720  lspindp5  41771  hdmaprnlem3eN  41859  hdmapglem7a  41928