Theorem lsssssubg 21109

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 21108	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  SubGrpcsubg 19210  LModclmod 21011  LSubSpclss 21082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lmod 21013  df-lss 21083

This theorem is used by:  lsmsp  21237  lspprabs  21246  pj1lmhm  21251  pj1lmhm2  21252  lspindpi  21286  lvecindp  21292  lsmcv  21295  pjdm2  21891  pjf2  21894  pjfo  21895  ocvpj  21897  pjthlem2  25628  lshpnel  39790  lshpnelb  39791  lsmsat  39815  lrelat  39821  lsmcv2  39836  lcvexchlem1  39841  lcvexchlem2  39842  lcvexchlem3  39843  lcvexchlem4  39844  lcvexchlem5  39845  lcv1  39848  lcv2  39849  lsatexch  39850  lsatcv0eq  39854  lsatcvatlem  39856  lsatcvat  39857  lsatcvat3  39859  l1cvat  39862  lkrlsp  39909  lshpsmreu  39916  lshpkrlem5  39921  dia2dimlem5  41875  dia2dimlem9  41879  dvhopellsm  41924  diblsmopel  41978  cdlemn5pre  42007  cdlemn11c  42016  dihjustlem  42023  dihord1  42025  dihord2a  42026  dihord2b  42027  dihord11c  42031  dihord6apre  42063  dihord5b  42066  dihord5apre  42069  dihjatc3  42120  dihmeetlem9N  42122  dihjatcclem1  42225  dihjatcclem2  42226  dihjat  42230  dvh3dim3N  42256  dochexmidlem2  42268  dochexmidlem6  42272  dochexmidlem7  42273  lclkrlem2b  42315  lclkrlem2f  42319  lclkrlem2v  42335  lclkrslem2  42345  lcfrlem23  42372  lcfrlem25  42374  lcfrlem35  42384  mapdlsm  42471  mapdpglem3  42482  mapdindp0  42526  lspindp5  42577  hdmaprnlem3eN  42665  hdmapglem7a  42734