Theorem lsssssubg 20900

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20899	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3936	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6489  SubGrpcsubg 19041  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-lmod 20804  df-lss 20874

This theorem is referenced by:  lsmsp  21029  lspprabs  21038  pj1lmhm  21043  pj1lmhm2  21044  lspindpi  21078  lvecindp  21084  lsmcv  21087  pjdm2  21657  pjf2  21660  pjfo  21661  ocvpj  21663  pjthlem2  25385  lshpnel  39155  lshpnelb  39156  lsmsat  39180  lrelat  39186  lsmcv2  39201  lcvexchlem1  39206  lcvexchlem2  39207  lcvexchlem3  39208  lcvexchlem4  39209  lcvexchlem5  39210  lcv1  39213  lcv2  39214  lsatexch  39215  lsatcv0eq  39219  lsatcvatlem  39221  lsatcvat  39222  lsatcvat3  39224  l1cvat  39227  lkrlsp  39274  lshpsmreu  39281  lshpkrlem5  39286  dia2dimlem5  41240  dia2dimlem9  41244  dvhopellsm  41289  diblsmopel  41343  cdlemn5pre  41372  cdlemn11c  41381  dihjustlem  41388  dihord1  41390  dihord2a  41391  dihord2b  41392  dihord11c  41396  dihord6apre  41428  dihord5b  41431  dihord5apre  41434  dihjatc3  41485  dihmeetlem9N  41487  dihjatcclem1  41590  dihjatcclem2  41591  dihjat  41595  dvh3dim3N  41621  dochexmidlem2  41633  dochexmidlem6  41637  dochexmidlem7  41638  lclkrlem2b  41680  lclkrlem2f  41684  lclkrlem2v  41700  lclkrslem2  41710  lcfrlem23  41737  lcfrlem25  41739  lcfrlem35  41749  mapdlsm  41836  mapdpglem3  41847  mapdindp0  41891  lspindp5  41942  hdmaprnlem3eN  42030  hdmapglem7a  42099