Theorem lsssssubg 20953

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20952	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3927	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  SubGrpcsubg 19096  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927

This theorem is referenced by:  lsmsp  21081  lspprabs  21090  pj1lmhm  21095  pj1lmhm2  21096  lspindpi  21130  lvecindp  21136  lsmcv  21139  pjdm2  21691  pjf2  21694  pjfo  21695  ocvpj  21697  pjthlem2  25405  lshpnel  39429  lshpnelb  39430  lsmsat  39454  lrelat  39460  lsmcv2  39475  lcvexchlem1  39480  lcvexchlem2  39481  lcvexchlem3  39482  lcvexchlem4  39483  lcvexchlem5  39484  lcv1  39487  lcv2  39488  lsatexch  39489  lsatcv0eq  39493  lsatcvatlem  39495  lsatcvat  39496  lsatcvat3  39498  l1cvat  39501  lkrlsp  39548  lshpsmreu  39555  lshpkrlem5  39560  dia2dimlem5  41514  dia2dimlem9  41518  dvhopellsm  41563  diblsmopel  41617  cdlemn5pre  41646  cdlemn11c  41655  dihjustlem  41662  dihord1  41664  dihord2a  41665  dihord2b  41666  dihord11c  41670  dihord6apre  41702  dihord5b  41705  dihord5apre  41708  dihjatc3  41759  dihmeetlem9N  41761  dihjatcclem1  41864  dihjatcclem2  41865  dihjat  41869  dvh3dim3N  41895  dochexmidlem2  41907  dochexmidlem6  41911  dochexmidlem7  41912  lclkrlem2b  41954  lclkrlem2f  41958  lclkrlem2v  41974  lclkrslem2  41984  lcfrlem23  42011  lcfrlem25  42013  lcfrlem35  42023  mapdlsm  42110  mapdpglem3  42121  mapdindp0  42165  lspindp5  42216  hdmaprnlem3eN  42304  hdmapglem7a  42373