Theorem lsssssubg 20879

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20878	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3943	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  SubGrpcsubg 19017  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-lss 20853

This theorem is referenced by:  lsmsp  21008  lspprabs  21017  pj1lmhm  21022  pj1lmhm2  21023  lspindpi  21057  lvecindp  21063  lsmcv  21066  pjdm2  21636  pjf2  21639  pjfo  21640  ocvpj  21642  pjthlem2  25354  lshpnel  38964  lshpnelb  38965  lsmsat  38989  lrelat  38995  lsmcv2  39010  lcvexchlem1  39015  lcvexchlem2  39016  lcvexchlem3  39017  lcvexchlem4  39018  lcvexchlem5  39019  lcv1  39022  lcv2  39023  lsatexch  39024  lsatcv0eq  39028  lsatcvatlem  39030  lsatcvat  39031  lsatcvat3  39033  l1cvat  39036  lkrlsp  39083  lshpsmreu  39090  lshpkrlem5  39095  dia2dimlem5  41050  dia2dimlem9  41054  dvhopellsm  41099  diblsmopel  41153  cdlemn5pre  41182  cdlemn11c  41191  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihord2a  41201  dihord2b  41202  dihord11c  41206  dihord6apre  41238  dihord5b  41241  dihord5apre  41244  dihjatc3  41295  dihmeetlem9N  41297  dihjatcclem1  41400  dihjatcclem2  41401  dihjat  41405  dvh3dim3N  41431  dochexmidlem2  41443  dochexmidlem6  41447  dochexmidlem7  41448  lclkrlem2b  41490  lclkrlem2f  41494  lclkrlem2v  41510  lclkrslem2  41520  lcfrlem23  41547  lcfrlem25  41549  lcfrlem35  41559  mapdlsm  41646  mapdpglem3  41657  mapdindp0  41701  lspindp5  41752  hdmaprnlem3eN  41840  hdmapglem7a  41909