MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssssubg 19706
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssssubg (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsssubg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21lsssubg 19705 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
32ex 415 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
43ssrdv 3952 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913  cfv 6331  SubGrpcsubg 18252  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-lmod 19612  df-lss 19680
This theorem is referenced by:  lsmsp  19834  lspprabs  19843  pj1lmhm  19848  pj1lmhm2  19849  lspindpi  19880  lvecindp  19886  lsmcv  19889  pjdm2  20831  pjf2  20834  pjfo  20835  ocvpj  20837  pjthlem2  24021  lshpnel  36155  lshpnelb  36156  lsmsat  36180  lrelat  36186  lsmcv2  36201  lcvexchlem1  36206  lcvexchlem2  36207  lcvexchlem3  36208  lcvexchlem4  36209  lcvexchlem5  36210  lcv1  36213  lcv2  36214  lsatexch  36215  lsatcv0eq  36219  lsatcvatlem  36221  lsatcvat  36222  lsatcvat3  36224  l1cvat  36227  lkrlsp  36274  lshpsmreu  36281  lshpkrlem5  36286  dia2dimlem5  38240  dia2dimlem9  38244  dvhopellsm  38289  diblsmopel  38343  cdlemn5pre  38372  cdlemn11c  38381  dihjustlem  38388  dihord1  38390  dihord2a  38391  dihord2b  38392  dihord11c  38396  dihord6apre  38428  dihord5b  38431  dihord5apre  38434  dihjatc3  38485  dihmeetlem9N  38487  dihjatcclem1  38590  dihjatcclem2  38591  dihjat  38595  dvh3dim3N  38621  dochexmidlem2  38633  dochexmidlem6  38637  dochexmidlem7  38638  lclkrlem2b  38680  lclkrlem2f  38684  lclkrlem2v  38700  lclkrslem2  38710  lcfrlem23  38737  lcfrlem25  38739  lcfrlem35  38749  mapdlsm  38836  mapdpglem3  38847  mapdindp0  38891  lspindp5  38942  hdmaprnlem3eN  39030  hdmapglem7a  39099
  Copyright terms: Public domain W3C validator