Theorem lsssssubg 20935

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20934	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 411	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3985	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6554  SubGrpcsubg 19114  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-lmod 20838  df-lss 20909

This theorem is referenced by:  lsmsp  21064  lspprabs  21073  pj1lmhm  21078  pj1lmhm2  21079  lspindpi  21113  lvecindp  21119  lsmcv  21122  pjdm2  21709  pjf2  21712  pjfo  21713  ocvpj  21715  pjthlem2  25457  lshpnel  38681  lshpnelb  38682  lsmsat  38706  lrelat  38712  lsmcv2  38727  lcvexchlem1  38732  lcvexchlem2  38733  lcvexchlem3  38734  lcvexchlem4  38735  lcvexchlem5  38736  lcv1  38739  lcv2  38740  lsatexch  38741  lsatcv0eq  38745  lsatcvatlem  38747  lsatcvat  38748  lsatcvat3  38750  l1cvat  38753  lkrlsp  38800  lshpsmreu  38807  lshpkrlem5  38812  dia2dimlem5  40767  dia2dimlem9  40771  dvhopellsm  40816  diblsmopel  40870  cdlemn5pre  40899  cdlemn11c  40908  dihjustlem  40915  dihord1  40917  dihord2a  40918  dihord2b  40919  dihord11c  40923  dihord6apre  40955  dihord5b  40958  dihord5apre  40961  dihjatc3  41012  dihmeetlem9N  41014  dihjatcclem1  41117  dihjatcclem2  41118  dihjat  41122  dvh3dim3N  41148  dochexmidlem2  41160  dochexmidlem6  41164  dochexmidlem7  41165  lclkrlem2b  41207  lclkrlem2f  41211  lclkrlem2v  41227  lclkrslem2  41237  lcfrlem23  41264  lcfrlem25  41266  lcfrlem35  41276  mapdlsm  41363  mapdpglem3  41374  mapdindp0  41418  lspindp5  41469  hdmaprnlem3eN  41557  hdmapglem7a  41626