Theorem lsssssubg 19722

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 19721	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 415	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3971	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  SubGrpcsubg 18265  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-lmod 19628  df-lss 19696

This theorem is referenced by:  lsmsp  19850  lspprabs  19859  pj1lmhm  19864  pj1lmhm2  19865  lspindpi  19896  lvecindp  19902  lsmcv  19905  pjdm2  20847  pjf2  20850  pjfo  20851  ocvpj  20853  pjthlem2  24033  lshpnel  36111  lshpnelb  36112  lsmsat  36136  lrelat  36142  lsmcv2  36157  lcvexchlem1  36162  lcvexchlem2  36163  lcvexchlem3  36164  lcvexchlem4  36165  lcvexchlem5  36166  lcv1  36169  lcv2  36170  lsatexch  36171  lsatcv0eq  36175  lsatcvatlem  36177  lsatcvat  36178  lsatcvat3  36180  l1cvat  36183  lkrlsp  36230  lshpsmreu  36237  lshpkrlem5  36242  dia2dimlem5  38196  dia2dimlem9  38200  dvhopellsm  38245  diblsmopel  38299  cdlemn5pre  38328  cdlemn11c  38337  dihjustlem  38344  dihord1  38346  dihord2a  38347  dihord2b  38348  dihord11c  38352  dihord6apre  38384  dihord5b  38387  dihord5apre  38390  dihjatc3  38441  dihmeetlem9N  38443  dihjatcclem1  38546  dihjatcclem2  38547  dihjat  38551  dvh3dim3N  38577  dochexmidlem2  38589  dochexmidlem6  38593  dochexmidlem7  38594  lclkrlem2b  38636  lclkrlem2f  38640  lclkrlem2v  38656  lclkrslem2  38666  lcfrlem23  38693  lcfrlem25  38695  lcfrlem35  38705  mapdlsm  38792  mapdpglem3  38803  mapdindp0  38847  lspindp5  38898  hdmaprnlem3eN  38986  hdmapglem7a  39055