Theorem lsssssubg 21142

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 21141	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  SubGrpcsubg 19243  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lss 21116

This theorem is used by:  lsmsp  21270  lspprabs  21279  pj1lmhm  21284  pj1lmhm2  21285  lspindpi  21319  lvecindp  21325  lsmcv  21328  pjdm2  21924  pjf2  21927  pjfo  21928  ocvpj  21930  pjthlem2  25666  lshpnel  39856  lshpnelb  39857  lsmsat  39881  lrelat  39887  lsmcv2  39902  lcvexchlem1  39907  lcvexchlem2  39908  lcvexchlem3  39909  lcvexchlem4  39910  lcvexchlem5  39911  lcv1  39914  lcv2  39915  lsatexch  39916  lsatcv0eq  39920  lsatcvatlem  39922  lsatcvat  39923  lsatcvat3  39925  l1cvat  39928  lkrlsp  39975  lshpsmreu  39982  lshpkrlem5  39987  dia2dimlem5  41941  dia2dimlem9  41945  dvhopellsm  41990  diblsmopel  42044  cdlemn5pre  42073  cdlemn11c  42082  dihjustlem  42089  dihord1  42091  dihord2a  42092  dihord2b  42093  dihord11c  42097  dihord6apre  42129  dihord5b  42132  dihord5apre  42135  dihjatc3  42186  dihmeetlem9N  42188  dihjatcclem1  42291  dihjatcclem2  42292  dihjat  42296  dvh3dim3N  42322  dochexmidlem2  42334  dochexmidlem6  42338  dochexmidlem7  42339  lclkrlem2b  42381  lclkrlem2f  42385  lclkrlem2v  42401  lclkrslem2  42411  lcfrlem23  42438  lcfrlem25  42440  lcfrlem35  42450  mapdlsm  42537  mapdpglem3  42548  mapdindp0  42592  lspindp5  42643  hdmaprnlem3eN  42731  hdmapglem7a  42800