Theorem lsssssubg 20891

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20890	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  SubGrpcsubg 19033  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-lss 20865

This theorem is referenced by:  lsmsp  21020  lspprabs  21029  pj1lmhm  21034  pj1lmhm2  21035  lspindpi  21069  lvecindp  21075  lsmcv  21078  pjdm2  21648  pjf2  21651  pjfo  21652  ocvpj  21654  pjthlem2  25365  lshpnel  39081  lshpnelb  39082  lsmsat  39106  lrelat  39112  lsmcv2  39127  lcvexchlem1  39132  lcvexchlem2  39133  lcvexchlem3  39134  lcvexchlem4  39135  lcvexchlem5  39136  lcv1  39139  lcv2  39140  lsatexch  39141  lsatcv0eq  39145  lsatcvatlem  39147  lsatcvat  39148  lsatcvat3  39150  l1cvat  39153  lkrlsp  39200  lshpsmreu  39207  lshpkrlem5  39212  dia2dimlem5  41166  dia2dimlem9  41170  dvhopellsm  41215  diblsmopel  41269  cdlemn5pre  41298  cdlemn11c  41307  dihjustlem  41314  dihord1  41316  dihord2a  41317  dihord2b  41318  dihord11c  41322  dihord6apre  41354  dihord5b  41357  dihord5apre  41360  dihjatc3  41411  dihmeetlem9N  41413  dihjatcclem1  41516  dihjatcclem2  41517  dihjat  41521  dvh3dim3N  41547  dochexmidlem2  41559  dochexmidlem6  41563  dochexmidlem7  41564  lclkrlem2b  41606  lclkrlem2f  41610  lclkrlem2v  41626  lclkrslem2  41636  lcfrlem23  41663  lcfrlem25  41665  lcfrlem35  41675  mapdlsm  41762  mapdpglem3  41773  mapdindp0  41817  lspindp5  41868  hdmaprnlem3eN  41956  hdmapglem7a  42025