Theorem lsssssubg 20840

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20839	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  SubGrpcsubg 19028  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lss 20814

This theorem is referenced by:  lsmsp  20969  lspprabs  20978  pj1lmhm  20983  pj1lmhm2  20984  lspindpi  21018  lvecindp  21024  lsmcv  21027  pjdm2  21596  pjf2  21599  pjfo  21600  ocvpj  21602  pjthlem2  25314  lshpnel  38949  lshpnelb  38950  lsmsat  38974  lrelat  38980  lsmcv2  38995  lcvexchlem1  39000  lcvexchlem2  39001  lcvexchlem3  39002  lcvexchlem4  39003  lcvexchlem5  39004  lcv1  39007  lcv2  39008  lsatexch  39009  lsatcv0eq  39013  lsatcvatlem  39015  lsatcvat  39016  lsatcvat3  39018  l1cvat  39021  lkrlsp  39068  lshpsmreu  39075  lshpkrlem5  39080  dia2dimlem5  41035  dia2dimlem9  41039  dvhopellsm  41084  diblsmopel  41138  cdlemn5pre  41167  cdlemn11c  41176  dihjustlem  41183  dihord1  41185  dihord2a  41186  dihord2b  41187  dihord11c  41191  dihord6apre  41223  dihord5b  41226  dihord5apre  41229  dihjatc3  41280  dihmeetlem9N  41282  dihjatcclem1  41385  dihjatcclem2  41386  dihjat  41390  dvh3dim3N  41416  dochexmidlem2  41428  dochexmidlem6  41432  dochexmidlem7  41433  lclkrlem2b  41475  lclkrlem2f  41479  lclkrlem2v  41495  lclkrslem2  41505  lcfrlem23  41532  lcfrlem25  41534  lcfrlem35  41544  mapdlsm  41631  mapdpglem3  41642  mapdindp0  41686  lspindp5  41737  hdmaprnlem3eN  41825  hdmapglem7a  41894