Theorem lsssssubg 21013

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 21012	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 416	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6516  SubGrpcsubg 19153  LModclmod 20915  LSubSpclss 20986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272  df-lmod 20917  df-lss 20987

This theorem is referenced by:  lsmsp  21141  lspprabs  21150  pj1lmhm  21155  pj1lmhm2  21156  lspindpi  21190  lvecindp  21196  lsmcv  21199  pjdm2  21751  pjf2  21754  pjfo  21755  ocvpj  21757  pjthlem2  25488  lshpnel  39568  lshpnelb  39569  lsmsat  39593  lrelat  39599  lsmcv2  39614  lcvexchlem1  39619  lcvexchlem2  39620  lcvexchlem3  39621  lcvexchlem4  39622  lcvexchlem5  39623  lcv1  39626  lcv2  39627  lsatexch  39628  lsatcv0eq  39632  lsatcvatlem  39634  lsatcvat  39635  lsatcvat3  39637  l1cvat  39640  lkrlsp  39687  lshpsmreu  39694  lshpkrlem5  39699  dia2dimlem5  41653  dia2dimlem9  41657  dvhopellsm  41702  diblsmopel  41756  cdlemn5pre  41785  cdlemn11c  41794  dihjustlem  41801  dihord1  41803  dihord2a  41804  dihord2b  41805  dihord11c  41809  dihord6apre  41841  dihord5b  41844  dihord5apre  41847  dihjatc3  41898  dihmeetlem9N  41900  dihjatcclem1  42003  dihjatcclem2  42004  dihjat  42008  dvh3dim3N  42034  dochexmidlem2  42046  dochexmidlem6  42050  dochexmidlem7  42051  lclkrlem2b  42093  lclkrlem2f  42097  lclkrlem2v  42113  lclkrslem2  42123  lcfrlem23  42150  lcfrlem25  42152  lcfrlem35  42162  mapdlsm  42249  mapdpglem3  42260  mapdindp0  42304  lspindp5  42355  hdmaprnlem3eN  42443  hdmapglem7a  42512