Theorem lsssssubg 20909

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20908	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3939	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  SubGrpcsubg 19050  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883

This theorem is referenced by:  lsmsp  21038  lspprabs  21047  pj1lmhm  21052  pj1lmhm2  21053  lspindpi  21087  lvecindp  21093  lsmcv  21096  pjdm2  21666  pjf2  21669  pjfo  21670  ocvpj  21672  pjthlem2  25394  lshpnel  39243  lshpnelb  39244  lsmsat  39268  lrelat  39274  lsmcv2  39289  lcvexchlem1  39294  lcvexchlem2  39295  lcvexchlem3  39296  lcvexchlem4  39297  lcvexchlem5  39298  lcv1  39301  lcv2  39302  lsatexch  39303  lsatcv0eq  39307  lsatcvatlem  39309  lsatcvat  39310  lsatcvat3  39312  l1cvat  39315  lkrlsp  39362  lshpsmreu  39369  lshpkrlem5  39374  dia2dimlem5  41328  dia2dimlem9  41332  dvhopellsm  41377  diblsmopel  41431  cdlemn5pre  41460  cdlemn11c  41469  dihjustlem  41476  dihord1  41478  dihord2a  41479  dihord2b  41480  dihord11c  41484  dihord6apre  41516  dihord5b  41519  dihord5apre  41522  dihjatc3  41573  dihmeetlem9N  41575  dihjatcclem1  41678  dihjatcclem2  41679  dihjat  41683  dvh3dim3N  41709  dochexmidlem2  41721  dochexmidlem6  41725  dochexmidlem7  41726  lclkrlem2b  41768  lclkrlem2f  41772  lclkrlem2v  41788  lclkrslem2  41798  lcfrlem23  41825  lcfrlem25  41827  lcfrlem35  41837  mapdlsm  41924  mapdpglem3  41935  mapdindp0  41979  lspindp5  42030  hdmaprnlem3eN  42118  hdmapglem7a  42187