Theorem lsssssubg 20229

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 20228	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 413	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3888  ‘cfv 6437  SubGrpcsubg 18758  LModclmod 20132  LSubSpclss 20202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-sbg 18591  df-subg 18761  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-lmod 20134  df-lss 20203

This theorem is referenced by:  lsmsp  20357  lspprabs  20366  pj1lmhm  20371  pj1lmhm2  20372  lspindpi  20403  lvecindp  20409  lsmcv  20412  pjdm2  20927  pjf2  20930  pjfo  20931  ocvpj  20933  pjthlem2  24611  lshpnel  37004  lshpnelb  37005  lsmsat  37029  lrelat  37035  lsmcv2  37050  lcvexchlem1  37055  lcvexchlem2  37056  lcvexchlem3  37057  lcvexchlem4  37058  lcvexchlem5  37059  lcv1  37062  lcv2  37063  lsatexch  37064  lsatcv0eq  37068  lsatcvatlem  37070  lsatcvat  37071  lsatcvat3  37073  l1cvat  37076  lkrlsp  37123  lshpsmreu  37130  lshpkrlem5  37135  dia2dimlem5  39089  dia2dimlem9  39093  dvhopellsm  39138  diblsmopel  39192  cdlemn5pre  39221  cdlemn11c  39230  dihjustlem  39237  dihord1  39239  dihord2a  39240  dihord2b  39241  dihord11c  39245  dihord6apre  39277  dihord5b  39280  dihord5apre  39283  dihjatc3  39334  dihmeetlem9N  39336  dihjatcclem1  39439  dihjatcclem2  39440  dihjat  39444  dvh3dim3N  39470  dochexmidlem2  39482  dochexmidlem6  39486  dochexmidlem7  39487  lclkrlem2b  39529  lclkrlem2f  39533  lclkrlem2v  39549  lclkrslem2  39559  lcfrlem23  39586  lcfrlem25  39588  lcfrlem35  39598  mapdlsm  39685  mapdpglem3  39696  mapdindp0  39740  lspindp5  39791  hdmaprnlem3eN  39879  hdmapglem7a  39948