Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem2 36331
Description: Lemma for lcvexch 36335. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.r (𝜑𝑅𝑆)
lcvexch.a (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b (𝜑𝑅𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem2 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19723 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
64, 5sseldd 3916 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
84, 7sseldd 3916 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
104, 9sseldd 3916 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lcvexch.b . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
12 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1312lsmmod 18793 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅𝑈) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
152lssincl 19730 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
161, 7, 9, 15syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
174, 16sseldd 3916 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lcvexch.a . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
1912lsmss2 18785 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
206, 17, 18, 19syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
2114, 20eqtr3d 2835 1 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  cin 3880  wss 3881  cfv 6324  (class class class)co 7135  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  L clcv 36314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-lsm 18753  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  36333
  Copyright terms: Public domain W3C validator