Theorem lcvexchlem2 36743

Description: Lemma for lcvexch 36747. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.a	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 19967	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod 19037	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑈) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
15	2	lssincl 19974	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
16	1, 7, 9, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
17	4, 16	sseldd 3892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lcvexch.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
19	12	lsmss2 19029	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
20	6, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
21	14, 20	eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  SubGrpcsubg 18509  LSSumclsm 18995  LModclmod 19871  LSubSpclss 19940   ⋖_L clcv 36726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-0g 16918  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-subg 18512  df-lsm 18997  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-lmod 19873  df-lss 19941

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  36745