Theorem lcvexchlem2 39736

Description: Lemma for lcvexch 39740. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.a	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 21059	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod 19747	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑈) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
15	2	lssincl 21066	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
16	1, 7, 9, 15	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
17	4, 16	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lcvexch.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
19	12	lsmss2 19739	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
20	6, 17, 18, 19	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
21	14, 20	eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  SubGrpcsubg 19188  LSSumclsm 19706  LModclmod 20961  LSubSpclss 21032   ⋖_L clcv 39719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-lsm 19708  df-mgp 20219  df-ur 20266  df-ring 20319  df-lmod 20963  df-lss 21033

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39738