Theorem lcvexchlem2 39755

Description: Lemma for lcvexch 39759. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.a	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod 19744	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑈) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
15	2	lssincl 21065	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
16	1, 7, 9, 15	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
17	4, 16	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lcvexch.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
19	12	lsmss2 19736	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
20	6, 17, 18, 19	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
21	14, 20	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  SubGrpcsubg 19185  LSSumclsm 19703  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031   ⋖_L clcv 39738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-lsm 19705  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20962  df-lss 21032

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39757