Theorem lcvexchlem2 39895

Description: Lemma for lcvexch 39899. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.a	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 21143	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod 19803	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑈) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
15	2	lssincl 21150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
16	1, 7, 9, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
17	4, 16	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lcvexch.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
19	12	lsmss2 19795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
20	6, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
21	14, 20	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  SubGrpcsubg 19244  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116   ⋖_L clcv 39878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-lsm 19764  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-lss 21117

This theorem is used by:  lcvexchlem4  39897