Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem2 38681
Description: Lemma for lcvexch 38685. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.r (𝜑𝑅𝑆)
lcvexch.a (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b (𝜑𝑅𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem2 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 20882 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
64, 5sseldd 3979 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
84, 7sseldd 3979 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
104, 9sseldd 3979 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lcvexch.b . . 3 (𝜑𝑅𝑈)
12 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1312lsmmod 19668 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅𝑈) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈))
152lssincl 20889 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
161, 7, 9, 15syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
174, 16sseldd 3979 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lcvexch.a . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅)
1912lsmss2 19660 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
206, 17, 18, 19syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑅 (𝑇𝑈)) = 𝑅)
2114, 20eqtr3d 2767 1 (𝜑 → ((𝑅 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3945  wss 3946  cfv 6553  (class class class)co 7423  SubGrpcsubg 19109  LSSumclsm 19627  LModclmod 20783  LSubSpclss 20855  L clcv 38664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-lsm 19629  df-mgp 20113  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20785  df-lss 20856
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  38683
  Copyright terms: Public domain W3C validator