Theorem lcvexchlem2 39016

Description: Lemma for lcvexch 39020. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.a	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
lcvexch.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20973	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod 19707	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑈) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
15	2	lssincl 20980	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
16	1, 7, 9, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)
17	4, 16	sseldd 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lcvexch.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅)
19	12	lsmss2 19699	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑅) → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
20	6, 17, 18, 19	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = 𝑅)
21	14, 20	eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  SubGrpcsubg 19150  LSSumclsm 19666  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946   ⋖_L clcv 38999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-lsm 19668  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947

This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  39018