Theorem climliminflimsup3 43595

Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and equal to its superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsup3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsup3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsup3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsup3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climliminflimsup3.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climliminflimsup3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4	1, 2, 3	climliminflimsup 43593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
5	3	frexr 43167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 5	liminfgelimsupuz 43573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
7	6	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))
8	4, 7	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5085  dom cdm 5605  ⟶wf 6459  ‘cfv 6463  ℝcr 10940   ≤ cle 11080  ℤcz 12389  ℤ_≥cuz 12652  lim supclsp 15248   ⇝ cli 15262  lim infclsi 43536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-pm 8664  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-ioo 13153  df-ico 13155  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-ceil 13583  df-seq 13792  df-exp 13853  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-limsup 15249  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-liminf 43537

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  43647