Theorem climliminflimsup3 46625

Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and equal to its superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsup3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsup3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsup3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsup3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climliminflimsup3.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climliminflimsup3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4	1, 2, 3	climliminflimsup 46623	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
5	3	frexr 46201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 5	liminfgelimsupuz 46603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
7	6	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))
8	4, 7	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11126   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  lim supclsp 15559   ⇝ cli 15573  lim infclsi 46566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-ceil 13856  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-liminf 46567

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  46677