Theorem xlimlimsupleliminf 43654

Description: A sequence of extended reals converges if and only if its superior limit is smaller than or equal to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimlimsupleliminf.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimlimsupleliminf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimlimsupleliminf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimlimsupleliminf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))

Proof of Theorem xlimlimsupleliminf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimlimsupleliminf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimlimsupleliminf.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimlimsupleliminf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimliminflimsup 43653	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
5	1, 2, 3	liminfgelimsupuz 43579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
6	4, 5	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  dom cdm 5608  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  ℝ^*cxr 11088   ≤ cle 11090  ℤcz 12399  ℤ_≥cuz 12662  lim supclsp 15258  lim infclsi 43542  ~~>*clsxlim 43609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-ceil 13593  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-limsup 15259  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-struct 16925  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-rest 17210  df-topn 17211  df-topgen 17231  df-ordt 17289  df-ps 18361  df-tsr 18362  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-lm 22463  df-haus 22549  df-xms 23556  df-ms 23557  df-liminf 43543  df-xlim 43610

This theorem is referenced by: (None)