Theorem xlimlimsupleliminf 43439

Description: A sequence of extended reals converges if and only if its superior limit is smaller than or equal to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimlimsupleliminf.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimlimsupleliminf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimlimsupleliminf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimlimsupleliminf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))

Proof of Theorem xlimlimsupleliminf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimlimsupleliminf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimlimsupleliminf.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimlimsupleliminf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimliminflimsup 43438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
5	1, 2, 3	liminfgelimsupuz 43364	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
6	4, 5	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ~~>* ↔ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  dom cdm 5591  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  ℝ^*cxr 11036   ≤ cle 11038  ℤcz 12347  ℤ_≥cuz 12610  lim supclsp 15207  lim infclsi 43327  ~~>*clsxlim 43394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fi 9198  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-ioc 13112  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-ceil 13541  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-limsup 15208  df-clim 15225  df-rlim 15226  df-struct 16876  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-rest 17161  df-topn 17162  df-topgen 17182  df-ordt 17240  df-ps 18312  df-tsr 18313  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-cnfld 20626  df-top 22071  df-topon 22088  df-topsp 22110  df-bases 22124  df-lm 22408  df-haus 22494  df-xms 23501  df-ms 23502  df-liminf 43328  df-xlim 43395

This theorem is referenced by: (None)