Theorem climliminflimsup2 46638

Description: A sequence of real numbers converges if and only if its superior limit is real and it is less than or equal to its inferior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 46617). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsup2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup2.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsup2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsup2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsup2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climliminflimsup2.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climliminflimsup2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4	1, 2, 3	climliminflimsup 46637	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
5	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
7		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
8		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
9	5, 2, 6, 7, 8	liminflimsupclim 46636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
13	10, 2, 11, 12	climliminflimsupd 46630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
14	13	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
15	9, 14	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
16	15, 7	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
17	16, 8	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
19	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	frexr 46215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
21	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
22	19, 2, 21	liminfgelimsupuz 46617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
23	18, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
24	23	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
25		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
27		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
28	26, 27	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))
29	17, 28	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
30	4, 29	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11124  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  lim supclsp 15558   ⇝ cli 15572  lim infclsi 46580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-ceil 13855  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-liminf 46581

This theorem is used by:  climliminflimsup4  46640