Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgt 45066
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgt.k β„²π‘˜πΉ
limsupgt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupgt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupgt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupgt.r (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
limsupgt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgt (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(𝑗,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem limsupgt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupgt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 limsupgt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 limsupgt.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
4 limsupgt.r . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
5 limsupgt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5limsupgtlem 45065 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
7 limsupgt.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
8 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘™
97, 8nffv 6895 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
10 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ βˆ’
11 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘‹
129, 10, 11nfov 7435 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋)
13 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘˜ <
14 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜lim sup
1514, 7nffv 6895 . . . . . . 7 β„²π‘˜(lim supβ€˜πΉ)
1612, 13, 15nfbr 5188 . . . . . 6 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)
17 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)
18 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
1918oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
2019breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑙 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2116, 17, 20cbvralw 3297 . . . . 5 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
2221a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
23 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2423raleqdv 3319 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2522, 24bitrd 279 . . 3 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2625cbvrexvw 3229 . 2 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
276, 26sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  lim supclsp 15420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-limsup 15421
This theorem is referenced by:  liminfltlem  45092  liminflimsupclim  45095
  Copyright terms: Public domain W3C validator