Theorem limsupgt 44484

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupgt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
limsupgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupgt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupgt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		limsupgt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5		limsupgt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	limsupgtlem 44483	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7		limsupgt.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
9	7, 8	nffv 6901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
10		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 −
11		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
12	9, 10, 11	nfov 7438	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋)
13		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
14		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim sup
15	14, 7	nffv 6901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim sup‘𝐹)
16	12, 13, 15	nfbr 5195	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
19	18	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) − 𝑋))
20	19	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
21	16, 17, 20	cbvralw 3303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
24	23	raleqdv 3325	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
25	22, 24	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
26	25	cbvrexvw 3235	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
27	6, 26	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108   < clt 11247   − cmin 11443  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ℝ⁺crp 12973  lim supclsp 15413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-ceil 13757  df-limsup 15414

This theorem is referenced by:  liminfltlem  44510  liminflimsupclim  44513