Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgt 45213
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgt.k β„²π‘˜πΉ
limsupgt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupgt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupgt.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupgt.r (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
limsupgt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgt (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(𝑗,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem limsupgt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupgt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 limsupgt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 limsupgt.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
4 limsupgt.r . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
5 limsupgt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5limsupgtlem 45212 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
7 limsupgt.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
8 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘™
97, 8nffv 6912 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
10 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ βˆ’
11 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘‹
129, 10, 11nfov 7456 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋)
13 nfcv 2899 . . . . . . 7 β„²π‘˜ <
14 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜lim sup
1514, 7nffv 6912 . . . . . . 7 β„²π‘˜(lim supβ€˜πΉ)
1612, 13, 15nfbr 5199 . . . . . 6 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)
17 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)
18 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
1918oveq1d 7441 . . . . . . 7 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
2019breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑙 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2116, 17, 20cbvralw 3301 . . . . 5 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
2221a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
23 fveq2 6902 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2423raleqdv 3323 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2522, 24bitrd 278 . . 3 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ)))
2625cbvrexvw 3233 . 2 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
276, 26sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2879  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147   < clt 11288   βˆ’ cmin 11484  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β„+crp 13016  lim supclsp 15456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xadd 13135  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-ceil 13800  df-limsup 15457
This theorem is referenced by:  liminfltlem  45239  liminflimsupclim  45242
  Copyright terms: Public domain W3C validator