Theorem limsupgt 46757

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupgt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
limsupgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupgt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupgt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		limsupgt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5		limsupgt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	limsupgtlem 46756	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7		limsupgt.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
9	7, 8	nffv 6893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
10		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 −
11		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
12	9, 10, 11	nfov 7448	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋)
13		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
14		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim sup
15	14, 7	nffv 6893	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim sup‘𝐹)
16	12, 13, 15	nfbr 5152	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
19	18	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) − 𝑋))
20	19	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
21	16, 17, 20	cbvralw 3305	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
24	23	raleqdv 3320	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
25	22, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
26	25	cbvrexvw 3242	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
27	6, 26	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192   < clt 11336   − cmin 11534  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  lim supclsp 15630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-xadd 13235  df-ico 13475  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-ceil 13926  df-limsup 15631

This theorem is used by:  liminfltlem  46783  liminflimsupclim  46786