Theorem limsupgt 46896

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupgt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
limsupgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupgt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupgt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		limsupgt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5		limsupgt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	limsupgtlem 46895	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7		limsupgt.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
9	7, 8	nffv 6900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
10		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 −
11		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
12	9, 10, 11	nfov 7454	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋)
13		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
14		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim sup
15	14, 7	nffv 6900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim sup‘𝐹)
16	12, 13, 15	nfbr 5151	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
19	18	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) − 𝑋))
20	19	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
21	16, 17, 20	cbvralw 3304	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
24	23	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
25	22, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
26	25	cbvrexvw 3241	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
27	6, 26	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   < clt 11350   − cmin 11548  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ℝ⁺crp 13127  lim supclsp 15646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-ceil 13940  df-limsup 15647

This theorem is used by:  liminfltlem  46922  liminflimsupclim  46925