Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgt 41524
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgt.k 𝑘𝐹
limsupgt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupgt.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgt (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupgt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 limsupgt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 limsupgt.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 limsupgt.r . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5 limsupgt.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5limsupgtlem 41523 . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7 limsupgt.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
8 nfcv 2925 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
97, 8nffv 6506 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
10 nfcv 2925 . . . . . . . 8 𝑘
11 nfcv 2925 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
129, 10, 11nfov 7004 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋)
13 nfcv 2925 . . . . . . 7 𝑘 <
14 nfcv 2925 . . . . . . . 8 𝑘lim sup
1514, 7nffv 6506 . . . . . . 7 𝑘(lim sup‘𝐹)
1612, 13, 15nfbr 4972 . . . . . 6 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17 nfv 1874 . . . . . 6 𝑙((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18 fveq2 6496 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1918oveq1d 6989 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) − 𝑋) = ((𝐹𝑘) − 𝑋))
2019breq1d 4935 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2116, 17, 20cbvral 3372 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
2221a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23 fveq2 6496 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2423raleqdv 3348 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2522, 24bitrd 271 . . 3 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2625cbvrexv 3377 . 2 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
276, 26sylib 210 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1508  wcel 2051  wnfc 2909  wral 3081  wrex 3082   class class class wbr 4925  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332   < clt 10472  cmin 10668  cz 11791  cuz 12056  +crp 12202  lim supclsp 14686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-xadd 12323  df-ico 12558  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-ceil 12976  df-limsup 14687
This theorem is referenced by:  liminfltlem  41550  liminflimsupclim  41553
  Copyright terms: Public domain W3C validator