Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgt 42350
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupgt.k 𝑘𝐹
limsupgt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupgt.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
limsupgt (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupgt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 limsupgt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 limsupgt.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 limsupgt.r . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5 limsupgt.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5limsupgtlem 42349 . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7 limsupgt.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
8 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
97, 8nffv 6671 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
10 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑘
11 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
129, 10, 11nfov 7179 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋)
13 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑘 <
14 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑘lim sup
1514, 7nffv 6671 . . . . . . 7 𝑘(lim sup‘𝐹)
1612, 13, 15nfbr 5099 . . . . . 6 𝑘((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17 nfv 1916 . . . . . 6 𝑙((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1918oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) − 𝑋) = ((𝐹𝑘) − 𝑋))
2019breq1d 5062 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2116, 17, 20cbvralw 3425 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
2221a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23 fveq2 6661 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2423raleqdv 3402 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2522, 24bitrd 282 . . 3 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
2625cbvrexvw 3435 . 2 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
276, 26sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wnfc 2962  wral 3133  wrex 3134   class class class wbr 5052  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534   < clt 10673  cmin 10868  cz 11978  cuz 12240  +crp 12386  lim supclsp 14827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xadd 12505  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-ceil 13167  df-limsup 14828
This theorem is referenced by:  liminfltlem  42376  liminflimsupclim  42379
  Copyright terms: Public domain W3C validator