Theorem lmmcvg 25213

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by NM, 1-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmmbr3.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
lmmcvg.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmmcvg.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lmmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑅,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmmcvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
2	1	3anbi3d 1444	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3207	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
4		lmmcvg.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmmbr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6		lmmbr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		lmmbr3.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		lmmbr3.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 6, 7, 8	lmmbr3 25212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
10	4, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
11	10	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
12		lmmcvg.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
13	3, 11, 12	rspcdva 3602	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
14	7	uztrn2 12871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
16		lmmbrf.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
18	16	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
19	18	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
21	15, 20	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
22	14, 21	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
23	22	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
24	23	ralimdva 3152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
25	24	reximdva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
26	13, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841  ℂcc 11127   < clt 11269  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305  ⇝_𝑡clm 23164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-lm 23167

This theorem is referenced by:  bfplem2  37847