Theorem lmmcvg 25420

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by NM, 1-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmmbr3.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
lmmcvg.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmmcvg.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lmmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑅,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmmcvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
2	1	3anbi3d 1470	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
4		lmmcvg.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmmbr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6		lmmbr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		lmmbr3.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		lmmbr3.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 6, 7, 8	lmmbr3 25419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
10	4, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
11	10	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
12		lmmcvg.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
13	3, 11, 12	rspcdva 3582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
14	7	uztrn2 12876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
16		lmmbrf.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
18	16	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
19	18	breq1d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
20	17, 19	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
21	15, 20	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
22	14, 21	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
23	22	anassrs 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
24	23	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
25	24	reximdva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
26	13, 25	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8821  ℂcc 11093   < clt 11238  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13011  ∞Metcxmet 21507  MetOpencmopn 21512  ⇝_𝑡clm 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-lm 23386

This theorem is referenced by:  bfplem2  38474