Theorem lmmcvg 25159

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by NM, 1-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmmbr3.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
lmmcvg.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmmcvg.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lmmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑅,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmmcvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
2	1	3anbi3d 1444	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3195	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
4		lmmcvg.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmmbr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6		lmmbr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		lmmbr3.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		lmmbr3.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 6, 7, 8	lmmbr3 25158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
10	4, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
11	10	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
12		lmmcvg.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
13	3, 11, 12	rspcdva 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
14	7	uztrn2 12754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
16		lmmbrf.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
18	16	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
19	18	breq1d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
21	15, 20	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
22	14, 21	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
23	22	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
24	23	ralimdva 3141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
25	24	reximdva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
26	13, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_pm cpm 8754  ℂcc 11007   < clt 11149  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  ∞Metcxmet 21246  MetOpencmopn 21251  ⇝_𝑡clm 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-lm 23114

This theorem is referenced by:  bfplem2  37803