Theorem lmmcvg 25457

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by NM, 1-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmmbr3.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
lmmcvg.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmmcvg.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
lmmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑅,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗, 𝑘)   𝐽(𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmmcvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
2	1	3anbi3d 1470	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
4		lmmcvg.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmmbr.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6		lmmbr.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		lmmbr3.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		lmmbr3.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 6, 7, 8	lmmbr3 25456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
10	4, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
11	10	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
12		lmmcvg.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
13	3, 11, 12	rspcdva 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
14	7	uztrn2 12899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
16		lmmbrf.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
18	16	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
19	18	breq1d 5124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
20	17, 19	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
21	15, 20	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
22	14, 21	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
23	22	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
24	23	ralimdva 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
25	24	reximdva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
26	13, 25	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_pm cpm 8834  ℂcc 11116   < clt 11261  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  ∞Metcxmet 21544  MetOpencmopn 21549  ⇝_𝑡clm 23420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-lm 23423

This theorem is used by:  bfplem2  38514