MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmcvg 23271
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by NM, 1-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmmbr3.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmmbr3.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
lmmcvg.8 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmmcvg.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lmmcvg (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑅,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmmcvg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4790 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
213anbi3d 1553 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
32rexralbidv 3206 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅)))
4 lmmcvg.8 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
5 lmmbr.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6 lmmbr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 lmmbr3.5 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 lmmbr3.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
95, 6, 7, 8lmmbr3 23270 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
104, 9mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
1110simp3d 1138 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
12 lmmcvg.9 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
133, 11, 12rspcdva 3466 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
147uztrn2 11904 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
15 3simpc 1146 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅))
16 lmmbrf.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1716eleq1d 2835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝐴𝑋))
1816oveq1d 6806 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) = (𝐴𝐷𝑃))
1918breq1d 4796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
2017, 19anbi12d 616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2115, 20syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2214, 21sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2322anassrs 453 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → (𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2423ralimdva 3111 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2524reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑅) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅)))
2613, 25mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6029  (class class class)co 6791  pm cpm 8008  cc 10134   < clt 10274  cz 11577  cuz 11886  +crp 12028  ∞Metcxmt 19939  MetOpencmopn 19944  𝑡clm 21244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-lm 21247
This theorem is referenced by:  bfplem2  33947
  Copyright terms: Public domain W3C validator