Theorem zlmodzxzsubm 49297

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ expressed as addition. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsubm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

Proof of Theorem zlmodzxzsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2	1	zlmodzxzlmod 49292	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
3	2	simpli 489	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ LMod)
5	1	zlmodzxzel 49293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
6	5	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
7	1	zlmodzxzel 49293	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
8	7	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
11		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
12	2	simpri 491	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
15		zring1 21678	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 21107	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
17	4, 6, 8, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
18		1z 12652	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		zringinvg 21684	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
20	18, 19	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
21	20	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((invg‘ℤring)‘1) = -1)
22	21	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
23	22	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
24	17, 23	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129  -cneg 11470  ℤcz 12619  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  inv_gcminusg 19064  -_gcsg 19065  LModclmod 21050  ℤ_ringczring 21665   freeLMod cfrlm 21965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-cnfld 21592  df-zring 21666  df-dsmm 21951  df-frlm 21966

This theorem is used by: (None)