Theorem zlmodzxzsubm 48832

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ expressed as addition. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsubm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

Proof of Theorem zlmodzxzsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2	1	zlmodzxzlmod 48827	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ LMod)
5	1	zlmodzxzel 48828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
6	5	ad2ant2r 748	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
7	1	zlmodzxzel 48828	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
8	7	ad2ant2l 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
11		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
12	2	simpri 485	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
15		zring1 21447	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20901	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
17	4, 6, 8, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
18		1z 12546	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		zringinvg 21453	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
21	20	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((invg‘ℤring)‘1) = -1)
22	21	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
23	22	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
24	17, 23	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028  -cneg 11367  ℤcz 12513  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  LModclmod 20844  ℤ_ringczring 21434   freeLMod cfrlm 21734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-cnfld 21343  df-zring 21435  df-dsmm 21720  df-frlm 21735

This theorem is referenced by: (None)