Theorem zlmodzxzsubm 48334

Description: The subtraction of the ℤ-module ℤ × ℤ expressed as addition. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzsub.m	⊢ − = (-g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsubm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

Proof of Theorem zlmodzxzsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2	1	zlmodzxzlmod 48329	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ LMod)
5	1	zlmodzxzel 48330	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
6	5	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
7	1	zlmodzxzel 48330	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
8	7	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
11		zlmodzxzsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑍)
12	2	simpri 485	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
15		zring1 21420	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20874	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩} ∈ (Base‘𝑍)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
17	4, 6, 8, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
18		1z 12622	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		zringinvg 21426	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
21	20	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((invg‘ℤring)‘1) = -1)
22	21	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = (-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}))
23	22	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(((invg‘ℤring)‘1)( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))
24	17, 23	eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} − {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐶⟩} (+g‘𝑍)(-1( ·𝑠 ‘𝑍){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐷⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cpr 4603  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  -cneg 11467  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  inv_gcminusg 18917  -_gcsg 18918  LModclmod 20817  ℤ_ringczring 21407   freeLMod cfrlm 21706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-dsmm 21692  df-frlm 21707

This theorem is referenced by: (None)