Theorem lrelat 39014

Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32300 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lrelat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lrelat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lrelat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lrelat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrelat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lrelat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lrelat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lrelat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lrelat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lrelat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lpssat 39013	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈))
9		lrelat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
11	1	lsssssubg 20871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 10, 15	lsatlssel 38997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑆)
17	12, 16	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	9, 14, 17	lssnle 19611	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞)))
19	6	pssssd 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
21	20	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈)))
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	12, 22	sseldd 3950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	9	lsmlub 19601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
25	14, 17, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
26	21, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
27	18, 26	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
28	8, 27	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
29	28	rexbidva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
30	7, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSAtomsclsa 38974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-lsm 19573  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lsatoms 38976

This theorem is referenced by:  lcvat  39030