Theorem lrelat 39032

Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32345 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lrelat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lrelat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lrelat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lrelat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrelat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lrelat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lrelat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lrelat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lrelat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lrelat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lpssat 39031	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈))
9		lrelat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
11	1	lsssssubg 20915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 10, 15	lsatlssel 39015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑆)
17	12, 16	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	9, 14, 17	lssnle 19655	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞)))
19	6	pssssd 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
21	20	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈)))
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	12, 22	sseldd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	9	lsmlub 19645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
25	14, 17, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
26	21, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
27	18, 26	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
28	8, 27	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
29	28	rexbidva 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
30	7, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  SubGrpcsubg 19103  LSSumclsm 19615  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSAtomsclsa 38992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-lsm 19617  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lsatoms 38994

This theorem is referenced by:  lcvat  39048