Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lrelat 37872
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 31604 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lrelat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lrelat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lrelat.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lrelat.l (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lrelat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝑆,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   βŠ• (π‘ž)
Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lrelat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 37871 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
8 ancom 461 . . . 4 ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ))
9 lrelat.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
103adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
111lsssssubg 20561 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
134adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1412, 13sseldd 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 37855 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝑆)
1712, 16sseldd 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
189, 14, 17lssnle 19536 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž)))
196pssssd 4096 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2120biantrurd 533 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ)))
225adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2312, 22sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
249lsmlub 19526 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2621, 25bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2718, 26anbi12d 631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
288, 27bitrid 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
2928rexbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
307, 29mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19498  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lsatoms 37834
This theorem is referenced by:  lcvat  37888
  Copyright terms: Public domain W3C validator