Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lrelat 38490
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32192 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lrelat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lrelat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lrelat.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lrelat.l (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lrelat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝑆,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   βŠ• (π‘ž)
Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lrelat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 38489 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
8 ancom 459 . . . 4 ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ))
9 lrelat.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
103adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
111lsssssubg 20847 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
134adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1412, 13sseldd 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 38473 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝑆)
1712, 16sseldd 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
189, 14, 17lssnle 19634 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž)))
196pssssd 4095 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2120biantrurd 531 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ)))
225adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2312, 22sseldd 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
249lsmlub 19624 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2621, 25bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2718, 26anbi12d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
288, 27bitrid 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
2928rexbidva 3172 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
307, 29mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  SubGrpcsubg 19080  LSSumclsm 19594  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSAtomsclsa 38450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-lsm 19596  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lsatoms 38452
This theorem is referenced by:  lcvat  38506
  Copyright terms: Public domain W3C validator