Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lrelat 37505
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 31348 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lrelat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lrelat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lrelat.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lrelat.l (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lrelat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝑆,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   βŠ• (π‘ž)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lrelat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 37504 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
8 ancom 462 . . . 4 ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ))
9 lrelat.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
103adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
111lsssssubg 20435 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
134adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1412, 13sseldd 3950 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 37488 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝑆)
1712, 16sseldd 3950 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
189, 14, 17lssnle 19463 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž)))
196pssssd 4062 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2120biantrurd 534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ)))
225adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2312, 22sseldd 3950 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
249lsmlub 19453 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2621, 25bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2718, 26anbi12d 632 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
288, 27bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
2928rexbidva 3174 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
307, 29mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-lsm 19425  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lcvat  37521
  Copyright terms: Public domain W3C validator