Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lrelat 38395
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32122 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lrelat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lrelat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lrelat.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lrelat.l (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lrelat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝑆,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   βŠ• (π‘ž)
Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lrelat.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 38394 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇))
8 ancom 460 . . . 4 ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ))
9 lrelat.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
103adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
111lsssssubg 20803 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
134adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1412, 13sseldd 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 38378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝑆)
1712, 16sseldd 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
189, 14, 17lssnle 19592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž)))
196pssssd 4092 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2120biantrurd 532 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ)))
225adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2312, 22sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
249lsmlub 19582 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2621, 25bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
2718, 26anbi12d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇 ∧ π‘ž βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
288, 27bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
2928rexbidva 3170 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž βŠ† π‘ˆ ∧ Β¬ π‘ž βŠ† 𝑇) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ)))
307, 29mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 βŠ• π‘ž) ∧ (𝑇 βŠ• π‘ž) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  SubGrpcsubg 19045  LSSumclsm 19552  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSAtomsclsa 38355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-lsm 19554  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lsatoms 38357
This theorem is referenced by:  lcvat  38411
  Copyright terms: Public domain W3C validator