Theorem lrelat 39474

Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32450 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lrelat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lrelat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lrelat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lrelat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrelat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lrelat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lrelat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lrelat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lrelat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lrelat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lpssat 39473	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈))
9		lrelat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
11	1	lsssssubg 20944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 10, 15	lsatlssel 39457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑆)
17	12, 16	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	9, 14, 17	lssnle 19640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞)))
19	6	pssssd 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
21	20	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈)))
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	12, 22	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	9	lsmlub 19630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
25	14, 17, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
26	21, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
27	18, 26	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
28	8, 27	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
29	28	rexbidva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
30	7, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  SubGrpcsubg 19087  LSSumclsm 19600  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSAtomsclsa 39434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-lsm 19602  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lsatoms 39436

This theorem is referenced by:  lcvat  39490