Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lrelat 36210
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 30136 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t (𝜑𝑇𝑆)
lrelat.u (𝜑𝑈𝑆)
lrelat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lrelat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lrelat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lrelat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lrelat.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 lrelat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
6 lrelat.l . . 3 (𝜑𝑇𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 36209 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
8 ancom 464 . . . 4 ((𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ (¬ 𝑞𝑇𝑞𝑈))
9 lrelat.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
103adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
111lsssssubg 19716 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
134adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇𝑆)
1412, 13sseldd 3952 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
161, 2, 10, 15lsatlssel 36193 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝑆)
1712, 16sseldd 3952 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
189, 14, 17lssnle 18789 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝑇𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞)))
196pssssd 4058 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝑈)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇𝑈)
2120biantrurd 536 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝑈 ↔ (𝑇𝑈𝑞𝑈)))
225adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑈𝑆)
2312, 22sseldd 3952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
249lsmlub 18779 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈𝑞𝑈) ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2514, 17, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑇𝑈𝑞𝑈) ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2621, 25bitrd 282 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝑈 ↔ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
2718, 26anbi12d 633 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞𝑇𝑞𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
288, 27syl5bb 286 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
2928rexbidva 3288 . 2 (𝜑 → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈)))
307, 29mpbid 235 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑞) ∧ (𝑇 𝑞) ⊆ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3133  wss 3918  wpss 3919  cfv 6336  (class class class)co 7138  SubGrpcsubg 18262  LSSumclsm 18748  LModclmod 19620  LSubSpclss 19689  LSAtomsclsa 36170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-lsm 18750  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lsatoms 36172
This theorem is referenced by:  lcvat  36226
  Copyright terms: Public domain W3C validator