Theorem lrelat 39460

Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 32435 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lrelat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lrelat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lrelat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lrelat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lrelat.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lrelat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lrelat.l	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lrelat	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   ⊕ (𝑞)

Proof of Theorem lrelat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrelat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lrelat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lrelat.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lrelat.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
5		lrelat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lrelat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊊ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lpssat 39459	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇))
8		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈))
9		lrelat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
11	1	lsssssubg 20953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
13	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
16	1, 2, 10, 15	lsatlssel 39443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑆)
17	12, 16	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	9, 14, 17	lssnle 19649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ↔ 𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞)))
19	6	pssssd 4040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
21	20	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈)))
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	12, 22	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	9	lsmlub 19639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑞 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
25	14, 17, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
26	21, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))
27	18, 26	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
28	8, 27	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
29	28	rexbidva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ⊆ 𝑈 ∧ ¬ 𝑞 ⊆ 𝑇) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈)))
30	7, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑇 ⊊ (𝑇 ⊕ 𝑞) ∧ (𝑇 ⊕ 𝑞) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSAtomsclsa 39420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-lsm 19611  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lsatoms 39422

This theorem is referenced by:  lcvat  39476