Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 37695
Description: Lemma for mapdpg 37726. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d 𝑔𝑤𝑧𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   𝜑,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32oveq1d 6894 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
41, 3eleqtrd 2881 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7lcdlmod 37612 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐹)
10 eqid 2800 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2800 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Base‘𝐶)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝐶)
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 19323 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
168, 9, 15syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 37620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
2120rexeqdv 3329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2216, 21bitrd 271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2322anbi1d 624 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
24 r19.41v 3271 . . . . . . 7 (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2523, 24syl6rbbr 282 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
2625exbidv 2017 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
27 df-rex 3096 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2826, 27syl6bbr 281 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
31 eqid 2800 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3231lsssssubg 19278 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
338, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
3412, 31, 14lspsncl 19297 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
358, 9, 34syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3633, 35sseldd 3800 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (SubGrp‘𝐶))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
38 eqid 2800 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
395, 17, 7dvhlmod 37130 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4341, 38, 42lspsncl 19297 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4439, 40, 43syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 37676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
4633, 45sseldd 3800 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 18378 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 274 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
494, 48mpbird 249 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
50 ovex 6911 . . . . 5 (𝑔 · 𝐺) ∈ V
51 oveq1 6886 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑤𝑅𝑧) = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2810 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3234 . . . . 5 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3431 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3223 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3414 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 269 . 2 (∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 226 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wrex 3091  wss 3770  {csn 4369  cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  Scalarcsca 16269   ·𝑠 cvsca 16270  -gcsg 17739  SubGrpcsubg 17900  LSSumclsm 18361  LModclmod 19180  LSubSpclss 19249  LSpanclspn 19291  HLchlt 35370  LHypclh 36004  DVecHcdvh 37098  LCDualclcd 37606  mapdcmpd 37644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-riotaBAD 34973
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-tpos 7591  df-undef 7638  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-0g 16416  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-proset 17242  df-poset 17260  df-plt 17272  df-lub 17288  df-glb 17289  df-join 17290  df-meet 17291  df-p0 17353  df-p1 17354  df-lat 17360  df-clat 17422  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-sbg 17742  df-subg 17903  df-cntz 18061  df-oppg 18087  df-lsm 18363  df-cmn 18509  df-abl 18510  df-mgp 18805  df-ur 18817  df-ring 18864  df-oppr 18938  df-dvdsr 18956  df-unit 18957  df-invr 18987  df-dvr 18998  df-drng 19066  df-lmod 19182  df-lss 19250  df-lsp 19292  df-lvec 19423  df-lsatoms 34996  df-lshyp 34997  df-lcv 35039  df-lfl 35078  df-lkr 35106  df-ldual 35144  df-oposet 35196  df-ol 35198  df-oml 35199  df-covers 35286  df-ats 35287  df-atl 35318  df-cvlat 35342  df-hlat 35371  df-llines 35518  df-lplanes 35519  df-lvols 35520  df-lines 35521  df-psubsp 35523  df-pmap 35524  df-padd 35816  df-lhyp 36008  df-laut 36009  df-ldil 36124  df-ltrn 36125  df-trl 36179  df-tgrp 36763  df-tendo 36775  df-edring 36777  df-dveca 37023  df-disoa 37049  df-dvech 37099  df-dib 37159  df-dic 37193  df-dih 37249  df-doch 37368  df-djh 37415  df-lcdual 37607  df-mapd 37645
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  37724
  Copyright terms: Public domain W3C validator