Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 37483
Description: Lemma for mapdpg 37514. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d 𝑔𝑤𝑧𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   𝜑,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32oveq1d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
41, 3eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7lcdlmod 37400 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐹)
10 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Base‘𝐶)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝐶)
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 19216 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
168, 9, 15syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 37408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
2120rexeqdv 3294 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2216, 21bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2322anbi1d 615 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
24 r19.41v 3237 . . . . . . 7 (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2523, 24syl6rbbr 279 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
2625exbidv 2002 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
27 df-rex 3067 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2826, 27syl6bbr 278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
31 eqid 2771 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3231lsssssubg 19171 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
338, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
3412, 31, 14lspsncl 19190 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
358, 9, 34syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3633, 35sseldd 3753 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (SubGrp‘𝐶))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
38 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
395, 17, 7dvhlmod 36918 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4341, 38, 42lspsncl 19190 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4439, 40, 43syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 37464 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
4633, 45sseldd 3753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 18273 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 271 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
494, 48mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
50 ovex 6827 . . . . 5 (𝑔 · 𝐺) ∈ V
51 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑤𝑅𝑧) = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3394 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3189 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3377 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 266 . 2 (∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wrex 3062  wss 3723  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  HLchlt 35157  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36886  LCDualclcd 37394  mapdcmpd 37432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34783  df-lshyp 34784  df-lcv 34826  df-lfl 34865  df-lkr 34893  df-ldual 34931  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36837  df-dvech 36887  df-dib 36947  df-dic 36981  df-dih 37037  df-doch 37156  df-djh 37203  df-lcdual 37395  df-mapd 37433
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  37512
  Copyright terms: Public domain W3C validator