Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 39312
Description: Lemma for mapdpg 39343. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d 𝑔𝑤𝑧𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   𝜑,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32oveq1d 7185 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
41, 3eleqtrd 2835 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
5 r19.41v 3251 . . . . . . 7 (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
6 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8lcdlmod 39229 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
10 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐹)
11 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
13 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Base‘𝐶)
14 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝐶)
15 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1611, 12, 13, 14, 15lspsnel 19894 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
179, 10, 16syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
18 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
20 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
216, 18, 19, 20, 7, 11, 12, 8lcdsbase 39237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
2221rexeqdv 3317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2317, 22bitrd 282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2423anbi1d 633 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
255, 24bitr4id 293 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
2625exbidv 1928 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
27 df-rex 3059 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2826, 27bitr4di 292 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
31 eqid 2738 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3231lsssssubg 19849 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
339, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
3413, 31, 15lspsncl 19868 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
359, 10, 34syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3633, 35sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (SubGrp‘𝐶))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
38 eqid 2738 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
396, 18, 8dvhlmod 38747 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4341, 38, 42lspsncl 19868 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4439, 40, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
456, 37, 18, 38, 7, 31, 8, 44mapdcl2 39293 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
4633, 45sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 18894 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
494, 48mpbird 260 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
50 ovex 7203 . . . . 5 (𝑔 · 𝐺) ∈ V
51 oveq1 7177 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑤𝑅𝑧) = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3207 . . . . 5 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3445 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3161 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3163 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 280 . 2 (∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 237 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wrex 3054  wss 3843  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  -gcsg 18221  SubGrpcsubg 18391  LSSumclsm 18877  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  HLchlt 36987  LHypclh 37621  DVecHcdvh 38715  LCDualclcd 39223  mapdcmpd 39261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-lsatoms 36613  df-lshyp 36614  df-lcv 36656  df-lfl 36695  df-lkr 36723  df-ldual 36761  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985  df-djh 39032  df-lcdual 39224  df-mapd 39262
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  39341
  Copyright terms: Public domain W3C validator