Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 41058
Description: Lemma for mapdpg 41089. Baer p. 45, line 3: "infer ... the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d π‘”π‘€π‘§πœ‘ locally to avoid clashes with later substitutions into πœ‘.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpglem3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   𝐡,𝑔   𝑧,𝑔,𝐢   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧,𝑑   πœ‘,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐡(𝑧,𝑑)   βŠ• (𝑧,𝑑,𝑔)   𝑅(𝑑)   Β· (𝑑)   π‘ˆ(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐻(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑑,𝑔)   βˆ’ (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑑,𝑔)   π‘Š(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
32oveq1d 7419 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
41, 3eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
5 r19.41v 3182 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
6 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
96, 7, 8lcdlmod 40975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
10 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
13 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
15 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1611, 12, 13, 14, 15lspsnel 20847 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
179, 10, 16syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
18 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
216, 18, 19, 20, 7, 11, 12, 8lcdsbase 40983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
2221rexeqdv 3320 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
2317, 22bitrd 279 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
2423anbi1d 629 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
255, 24bitr4id 290 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
2625exbidv 1916 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
27 df-rex 3065 . . . . 5 (βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
31 eqid 2726 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
3231lsssssubg 20802 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
339, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
3413, 31, 15lspsncl 20821 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
359, 10, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
3633, 35sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
38 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
396, 18, 8dvhlmod 40493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
4341, 38, 42lspsncl 20821 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4439, 40, 43syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
456, 37, 18, 38, 7, 31, 8, 44mapdcl2 41039 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
4633, 45sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 19568 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ 𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
494, 48mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
50 ovex 7437 . . . . 5 (𝑔 Β· 𝐺) ∈ V
51 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (𝑀𝑅𝑧) = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2737 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3520 . . . 4 (βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3088 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3279 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 277 . 2 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  -gcsg 18862  SubGrpcsubg 19044  LSSumclsm 19551  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  LCDualclcd 40969  mapdcmpd 41007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-lshyp 38359  df-lcv 38401  df-lfl 38440  df-lkr 38468  df-ldual 38506  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tgrp 40126  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dveca 40386  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612  df-doch 40731  df-djh 40778  df-lcdual 40970  df-mapd 41008
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  41087
  Copyright terms: Public domain W3C validator