Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 40188
Description: Lemma for mapdpg 40219. Baer p. 45, line 3: "infer ... the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d π‘”π‘€π‘§πœ‘ locally to avoid clashes with later substitutions into πœ‘.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpglem3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   𝐡,𝑔   𝑧,𝑔,𝐢   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧,𝑑   πœ‘,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐡(𝑧,𝑑)   βŠ• (𝑧,𝑑,𝑔)   𝑅(𝑑)   Β· (𝑑)   π‘ˆ(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐻(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑑,𝑔)   βˆ’ (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑑,𝑔)   π‘Š(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
32oveq1d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
41, 3eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
5 r19.41v 3182 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
6 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
96, 7, 8lcdlmod 40105 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
10 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
13 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
15 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
1611, 12, 13, 14, 15lspsnel 20508 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
179, 10, 16syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
18 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
216, 18, 19, 20, 7, 11, 12, 8lcdsbase 40113 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
2221rexeqdv 3313 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
2317, 22bitrd 279 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺)))
2423anbi1d 631 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
255, 24bitr4id 290 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ (𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
2625exbidv 1925 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧))))
27 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (π½β€˜{𝐺}) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
3231lsssssubg 20463 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
339, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜πΆ) βŠ† (SubGrpβ€˜πΆ))
3413, 31, 15lspsncl 20482 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
359, 10, 34syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
3633, 35sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
396, 18, 8dvhlmod 39623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
4341, 38, 42lspsncl 20482 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4439, 40, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
456, 37, 18, 38, 7, 31, 8, 44mapdcl2 40169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
4633, 45sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 19441 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π½β€˜{𝐺})βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ 𝑑 ∈ ((π½β€˜{𝐺}) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
494, 48mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
50 ovex 7394 . . . . 5 (𝑔 Β· 𝐺) ∈ V
51 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (𝑀𝑅𝑧) = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3496 . . . 4 (βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3270 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€(𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 277 . 2 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 (𝑀 = (𝑔 Β· 𝐺) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = (𝑀𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  LSSumclsm 19424  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  40217
  Copyright terms: Public domain W3C validator