Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 39048
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32398 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0eq.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0eq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv0eq.r (𝜑𝑅𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 39046 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
10 lveclmod 21105 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 38998 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 39041 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 39032 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
1514biantrurd 532 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 305 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
173adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
181, 7lsssn0 20946 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2112adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
227, 2, 11, 5lsatlssel 38998 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
237, 8lsmcl 21082 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 39027 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅))
2928ex 412 . . . 4 (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3016, 29sylbid 240 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3130necon4ad 2959 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 20956 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3433, 12sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
358lsmidm 19681 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 5171 . . 3 (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑄))
38 oveq2 7439 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑄) = (𝑄 𝑅))
3938breq2d 5155 . . 3 (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 245 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4131, 40impbid 212 1 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  L clcv 39019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020
This theorem is referenced by:  lsatcv1  39049
  Copyright terms: Public domain W3C validator