Theorem lsatcv0eq 39246

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32403 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0eq.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0eq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 39244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
10		lveclmod 21056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 39196	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 39239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 39230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
15	14	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
16	6, 13, 15	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
17	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
18	1, 7	lsssn0 20897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 39196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	7, 8	lsmcl 21033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 39225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
30	16, 29	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
31	30	necon4ad 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
32	7	lsssssubg 20907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
33	11, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
34	33, 12	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
35	8	lsmidm 19590	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
37	14, 36	breqtrrd 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄))
38		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑅))
39	38	breq2d 5108	. . 3 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
40	37, 39	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
41	31, 40	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4578   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0_gc0g 17357  SubGrpcsubg 19048  LSSumclsm 19561  LModclmod 20809  LSubSpclss 20880  LVecclvec 21052  LSAtomsclsa 39173   ⋖_L clcv 39217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lsatoms 39175  df-lcv 39218

This theorem is referenced by:  lsatcv1  39247