Theorem lsatcv0eq 35003

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 29694 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0eq.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0eq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 35001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
10		lveclmod 19378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 34953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 34996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 34987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
15	14	biantrurd 528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
16	6, 13, 15	3bitrd 296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
17	3	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
18	1, 7	lsssn0 19217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	19	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	12	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 34953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	7, 8	lsmcl 19355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	24	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26		simprl 787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27		simprr 789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 34982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
29	28	ex 401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
30	16, 29	sylbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
31	30	necon4ad 2956	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
32	7	lsssssubg 19230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
33	11, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
34	33, 12	sseldd 3762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
35	8	lsmidm 18341	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
37	14, 36	breqtrrd 4837	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄))
38		oveq2 6850	. . . 4 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑅))
39	38	breq2d 4821	. . 3 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
40	37, 39	syl5ibcom 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
41	31, 40	impbid 203	1 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  0_gc0g 16366  SubGrpcsubg 17852  LSSumclsm 18313  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LVecclvec 19374  LSAtomsclsa 34930   ⋖_L clcv 34974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-0g 16368  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34932  df-lcv 34975

This theorem is referenced by:  lsatcv1  35004