Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 37538
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 31363 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv0eq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 37536 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
10 lveclmod 20583 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 37488 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 37531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 37522 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)
1514biantrurd 534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 305 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
173adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
181, 7lsssn0 20424 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2019adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2112adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
227, 2, 11, 5lsatlssel 37488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
237, 8lsmcl 20560 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
26 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 }𝐢𝑄)
27 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 37517 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
2928ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3016, 29sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3130necon4ad 2963 . 2 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 20435 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3433, 12sseldd 3950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
358lsmidm 19452 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 5138 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄))
38 oveq2 7370 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• 𝑅))
3938breq2d 5122 . . 3 (𝑄 = 𝑅 β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 244 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4131, 40impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465   β‹–L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsatcv1  37539
  Copyright terms: Public domain W3C validator