Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 36340
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 30162 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0eq.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0eq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv0eq.r (𝜑𝑅𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 36338 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2798 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
10 lveclmod 19871 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 36290 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 36333 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 36324 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
1514biantrurd 536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 308 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
173adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
181, 7lsssn0 19712 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2019adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2112adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
227, 2, 11, 5lsatlssel 36290 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
237, 8lsmcl 19848 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2524adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 36319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅))
2928ex 416 . . . 4 (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3016, 29sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3130necon4ad 3006 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 19723 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3433, 12sseldd 3916 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
358lsmidm 18780 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 5058 . . 3 (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑄))
38 oveq2 7143 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑄) = (𝑄 𝑅))
3938breq2d 5042 . . 3 (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 248 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4131, 40impbid 215 1 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  cin 3880  wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LVecclvec 19867  LSAtomsclsa 36267  L clcv 36311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36269  df-lcv 36312
This theorem is referenced by:  lsatcv1  36341
  Copyright terms: Public domain W3C validator