Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 38430
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32141 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv0eq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 38428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
10 lveclmod 20954 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 38380 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 38423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 38414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)
1514biantrurd 532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 305 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
173adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
181, 7lsssn0 20795 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2112adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
227, 2, 11, 5lsatlssel 38380 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
237, 8lsmcl 20931 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
26 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 }𝐢𝑄)
27 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 38409 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
2928ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3016, 29sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3130necon4ad 2953 . 2 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 20805 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3433, 12sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
358lsmidm 19583 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄))
38 oveq2 7413 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• 𝑅))
3938breq2d 5153 . . 3 (𝑄 = 𝑅 β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 244 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4131, 40impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   β‹–L clcv 38401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  lsatcv1  38431
  Copyright terms: Public domain W3C validator