Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 38575
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32233 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv0eq.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv0eq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 38573 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
10 lveclmod 20995 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 38525 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 38568 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 38559 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)
1514biantrurd 531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 304 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ↔ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))))
173adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
181, 7lsssn0 20836 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2019adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2112adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
227, 2, 11, 5lsatlssel 38525 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
237, 8lsmcl 20972 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
26 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ { 0 }𝐢𝑄)
27 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 38554 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅))
2928ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({ 0 }𝐢𝑄 ∧ 𝑄𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3016, 29sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 β‰  𝑅 β†’ Β¬ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
3130necon4ad 2949 . 2 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 20846 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3433, 12sseldd 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
358lsmidm 19622 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄))
38 oveq2 7424 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑄) = (𝑄 βŠ• 𝑅))
3938breq2d 5155 . . 3 (𝑄 = 𝑅 β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑄) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 244 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4131, 40impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0gc0g 17420  SubGrpcsubg 19079  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LVecclvec 20991  LSAtomsclsa 38502   β‹–L clcv 38546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lcv 38547
This theorem is referenced by:  lsatcv1  38576
  Copyright terms: Public domain W3C validator