Theorem lsatcv0eq 39745

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32672 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0eq.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0eq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 39743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
10		lveclmod 21205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 39695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 39738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 39729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
15	14	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
16	6, 13, 15	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
17	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
18	1, 7	lsssn0 21047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	11, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 39695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	7, 8	lsmcl 21182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	24	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 39724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
29	28	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
30	16, 29	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
31	30	necon4ad 2983	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
32	7	lsssssubg 21057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
33	11, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
34	33, 12	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
35	8	lsmidm 19733	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
37	14, 36	breqtrrd 5143	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄))
38		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑅))
39	38	breq2d 5125	. . 3 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
40	37, 39	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
41	31, 40	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0_gc0g 17492  SubGrpcsubg 19186  LSSumclsm 19704  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LVecclvec 21201  LSAtomsclsa 39672   ⋖_L clcv 39716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-lsatoms 39674  df-lcv 39717

This theorem is referenced by:  lsatcv1  39746