Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0eq 35003
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 29694 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0eq.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0eq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv0eq.r (𝜑𝑅𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐴)
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝐴)
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 35001 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑅) = { 0 }))
7 eqid 2765 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
10 lveclmod 19378 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
127, 2, 11, 4lsatlssel 34953 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 34996 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 𝑅)))
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 34987 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
1514biantrurd 528 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
166, 13, 153bitrd 296 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))))
173adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
181, 7lsssn0 19217 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2019adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
2112adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
227, 2, 11, 5lsatlssel 34953 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
237, 8lsmcl 19355 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2411, 12, 22, 23syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2524adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 simprl 787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27 simprr 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 𝑅))
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 34982 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅))
2928ex 401 . . . 4 (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄𝑄𝐶(𝑄 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3016, 29sylbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
3130necon4ad 2956 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
327lsssssubg 19230 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3311, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3433, 12sseldd 3762 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
358lsmidm 18341 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
3714, 36breqtrrd 4837 . . 3 (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑄))
38 oveq2 6850 . . . 4 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑄) = (𝑄 𝑅))
3938breq2d 4821 . . 3 (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4037, 39syl5ibcom 236 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4131, 40impbid 203 1 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cin 3731  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  0gc0g 16366  SubGrpcsubg 17852  LSSumclsm 18313  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LVecclvec 19374  LSAtomsclsa 34930  L clcv 34974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-0g 16368  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34932  df-lcv 34975
This theorem is referenced by:  lsatcv1  35004
  Copyright terms: Public domain W3C validator