Theorem lsatcv0eq 39427

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32471 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0eq.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0eq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 39425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
10		lveclmod 21073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 39377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 39420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 39411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
15	14	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
16	6, 13, 15	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
17	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
18	1, 7	lsssn0 20914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 39377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	7, 8	lsmcl 21050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 39406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
29	28	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
30	16, 29	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
31	30	necon4ad 2952	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
32	7	lsssssubg 20924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
33	11, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
34	33, 12	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
35	8	lsmidm 19607	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
37	14, 36	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄))
38		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑅))
39	38	breq2d 5112	. . 3 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
40	37, 39	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
41	31, 40	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0_gc0g 17371  SubGrpcsubg 19065  LSSumclsm 19578  LModclmod 20826  LSubSpclss 20897  LVecclvec 21069  LSAtomsclsa 39354   ⋖_L clcv 39398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-subg 19068  df-cntz 19261  df-oppg 19290  df-lsm 19580  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-drng 20679  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 39356  df-lcv 39399

This theorem is referenced by:  lsatcv1  39428