Theorem lsatcv0eq 40104

Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 32981 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0eq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0eq.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv0eq.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0eq.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0eq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0eq.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv0eq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0eq	⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0eq.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatcv0eq.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsatcv0eq.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lsatcv0eq.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		lsatcv0eq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lsatnem0 40102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ (𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 }))
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lsatcv0eq.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
9		lsatcv0eq.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
10		lveclmod 21381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
11	3, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	7, 2, 11, 4	lsatlssel 40054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5	lcvp 40097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∩ 𝑅) = { 0 } ↔ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
14	1, 2, 9, 3, 4	lsatcv0 40088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
15	14	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
16	6, 13, 15	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))))
17	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑊 ∈ LVec)
18	1, 7	lsssn0 21223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	11, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	7, 2, 11, 5	lsatlssel 40054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	7, 8	lsmcl 21358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	11, 12, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → { 0 }𝐶𝑄)
27		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
28	7, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27	lcvntr 40083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
29	28	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({ 0 }𝐶𝑄 ∧ 𝑄𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)) → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
30	16, 29	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ≠ 𝑅 → ¬ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
31	30	necon4ad 2975	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) → 𝑄 = 𝑅))
32	7	lsssssubg 21233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
33	11, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
34	33, 12	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
35	8	lsmidm 19877	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = 𝑄)
37	14, 36	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄))
38		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑄) = (𝑄 ⊕ 𝑅))
39	38	breq2d 5115	. . 3 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑄) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
40	37, 39	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
41	31, 40	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0_gc0g 17610  SubGrpcsubg 19330  LSSumclsm 19848  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  LVecclvec 21377  LSAtomsclsa 40031   ⋖_L clcv 40075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40033  df-lcv 40076

This theorem is used by:  lsatcv1  40105