Theorem lsatcv1 36989

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 30643 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcv1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
2		breq1 5073	. . . 4 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
3	1, 2	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
4		lsatcv1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lsatcv1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lsatcv1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatcv1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lsatcv1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		lsatcv1.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10		lsatcv1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lsatcv0eq 36988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
12	3, 11	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
13	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
14		lsatcv1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lsatcv1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑅))
19		lveclmod 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	14, 6, 20, 10	lsatlssel 36938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	14	lsssubg 20134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	20, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmidm 19183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
26	18, 25	sylan9eqr 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
27	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝐴)
29	4, 14, 6, 7, 15, 17, 28	lsatcveq0 36973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
30	13, 29	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
31	30	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → 𝑈 = { 0 }))
32	12, 31	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915   ⋖_L clcv 36959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lcv 36960

This theorem is referenced by:  lsatcvat2  36992