Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 38430
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32137 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv1.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcv1.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
2 breq1 5144 . . . 4 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 244 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 lsatcv1.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
8 lsatcv1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 38429 . . 3 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 238 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ 𝑄 = 𝑅))
131adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
158adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘Š ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1716adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑅))
19 lveclmod 20951 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 38379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
2214lsssubg 20801 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2320, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
245lsmidm 19580 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2826, 27eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 38414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ = { 0 }))
3013, 29mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ = { 0 })
3130ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
3212, 31impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0gc0g 17391  SubGrpcsubg 19044  LSSumclsm 19551  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LVecclvec 20947  LSAtomsclsa 38356   β‹–L clcv 38400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-lcv 38401
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  38433
  Copyright terms: Public domain W3C validator