Theorem lsatcv1 39041

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32309 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcv1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
2		breq1 5110	. . . 4 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
3	1, 2	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
4		lsatcv1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lsatcv1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lsatcv1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatcv1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lsatcv1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		lsatcv1.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10		lsatcv1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lsatcv0eq 39040	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
12	3, 11	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
13	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
14		lsatcv1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lsatcv1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑅))
19		lveclmod 21013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	14, 6, 20, 10	lsatlssel 38990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	14	lsssubg 20863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmidm 19593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
26	18, 25	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
27	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝐴)
29	4, 14, 6, 7, 15, 17, 28	lsatcveq0 39025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
30	13, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
31	30	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → 𝑈 = { 0 }))
32	12, 31	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19052  LSSumclsm 19564  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LVecclvec 21009  LSAtomsclsa 38967   ⋖_L clcv 39011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  lsatcvat2  39044