Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 38524
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32208 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv1.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcv1.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
2 breq1 5153 . . . 4 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 244 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
5 lsatcv1.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lsatcv1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 38523 . . 3 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 238 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
131adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
158adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝑆)
18 oveq1 7431 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
19 lveclmod 20996 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 38473 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑆)
2214lsssubg 20846 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmidm 19623 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
2826, 27eqeltrd 2828 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 38508 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
3013, 29mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
3130ex 411 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅𝑈 = { 0 }))
3212, 31impbid 211 1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  0gc0g 17426  SubGrpcsubg 19080  LSSumclsm 19594  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LVecclvec 20992  LSAtomsclsa 38450  L clcv 38494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-oppg 19302  df-lsm 19596  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993  df-lsatoms 38452  df-lcv 38495
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  38527
  Copyright terms: Public domain W3C validator