Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 36717
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 30327 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv1.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcv1.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
2 breq1 5043 . . . 4 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 248 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
5 lsatcv1.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lsatcv1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 36716 . . 3 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 242 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
131adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
158adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝑆)
18 oveq1 7189 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
19 lveclmod 20009 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 36666 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑆)
2214lsssubg 19860 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmidm 18918 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
2826, 27eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 36701 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
3013, 29mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
3130ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅𝑈 = { 0 }))
3212, 31impbid 215 1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {csn 4526   class class class wbr 5040  cfv 6349  (class class class)co 7182  0gc0g 16828  SubGrpcsubg 18403  LSSumclsm 18889  LModclmod 19765  LSubSpclss 19834  LVecclvec 20005  LSAtomsclsa 36643  L clcv 36687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-0g 16830  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-subg 18406  df-cntz 18577  df-oppg 18604  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-drng 19635  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-lvec 20006  df-lsatoms 36645  df-lcv 36688
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  36720
  Copyright terms: Public domain W3C validator