Theorem lsatcv1 39014

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32282 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcv1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
2		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
3	1, 2	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
4		lsatcv1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lsatcv1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lsatcv1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatcv1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lsatcv1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		lsatcv1.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10		lsatcv1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lsatcv0eq 39013	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
12	3, 11	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
13	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
14		lsatcv1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lsatcv1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑅))
19		lveclmod 20989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	14, 6, 20, 10	lsatlssel 38963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	14	lsssubg 20839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmidm 19569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
26	18, 25	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
27	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝐴)
29	4, 14, 6, 7, 15, 17, 28	lsatcveq0 38998	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
30	13, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
31	30	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → 𝑈 = { 0 }))
32	12, 31	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0_gc0g 17378  SubGrpcsubg 19028  LSSumclsm 19540  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813  LVecclvec 20985  LSAtomsclsa 38940   ⋖_L clcv 38984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986  df-lsatoms 38942  df-lcv 38985

This theorem is referenced by:  lsatcvat2  39017