Theorem lsatcv1 39027

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32324 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsatcv1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsatcv1	⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
2		breq1 5095	. . . 4 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
3	1, 2	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅)))
4		lsatcv1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lsatcv1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lsatcv1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatcv1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
8		lsatcv1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		lsatcv1.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10		lsatcv1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lsatcv0eq 39026	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
12	3, 11	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
13	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅))
14		lsatcv1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		lsatcv1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑅))
19		lveclmod 21010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	14, 6, 20, 10	lsatlssel 38976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
22	14	lsssubg 20860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmidm 19542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
26	18, 25	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = 𝑅)
27	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ 𝐴)
29	4, 14, 6, 7, 15, 17, 28	lsatcveq0 39011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 ⊕ 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
30	13, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
31	30	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑅 → 𝑈 = { 0 }))
32	12, 31	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19513  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LVecclvec 21006  LSAtomsclsa 38953   ⋖_L clcv 38997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38955  df-lcv 38998

This theorem is referenced by:  lsatcvat2  39030