Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 37062
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 30742 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv1.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcv1.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
2 breq1 5077 . . . 4 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 244 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
5 lsatcv1.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lsatcv1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 37061 . . 3 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 238 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
131adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
158adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝑆)
18 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
19 lveclmod 20368 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 37011 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑆)
2214lsssubg 20219 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmidm 19268 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2800 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
2826, 27eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 37046 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
3013, 29mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
3130ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅𝑈 = { 0 }))
3212, 31impbid 211 1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4561   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LVecclvec 20364  LSAtomsclsa 36988  L clcv 37032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lcv 37033
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  37065
  Copyright terms: Public domain W3C validator