Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 38552
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 32210 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv1.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcv1.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
2 breq1 5155 . . . 4 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 244 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 lsatcv1.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
8 lsatcv1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 38551 . . 3 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 238 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ 𝑄 = 𝑅))
131adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
158adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘Š ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1716adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑅))
19 lveclmod 20998 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 38501 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
2214lsssubg 20848 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
245lsmidm 19625 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2790 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2826, 27eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 38536 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ = { 0 }))
3013, 29mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ = { 0 })
3130ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
3212, 31impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LVecclvec 20994  LSAtomsclsa 38478   β‹–L clcv 38522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lcv 38523
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  38555
  Copyright terms: Public domain W3C validator