Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 37539
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 31364 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv1.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcv1.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcv1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcv1.l (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
2 breq1 5113 . . . 4 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 244 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ { 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 lsatcv1.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
8 lsatcv1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 37538 . . 3 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 238 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } β†’ 𝑄 = 𝑅))
131adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
158adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘Š ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
18 oveq1 7369 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑅))
19 lveclmod 20583 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 37488 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
2214lsssubg 20434 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2320, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
245lsmidm 19452 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2826, 27eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 37523 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (π‘ˆπΆ(𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ = { 0 }))
3013, 29mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ π‘ˆ = { 0 })
3130ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
3212, 31impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465   β‹–L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  37542
  Copyright terms: Public domain W3C validator