Theorem dvh3dimatN 41427

Description: There is an atom that is outside the subspace sum of 2 others. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh4dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh4dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dimat.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dvh3dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dvh3dimat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dimat.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
dvh3dimat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dimatN	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃 ⊕ 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐾,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   ⊕ ,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑠)   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem dvh3dimatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh4dimat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh4dimat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dimat.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
4		dvh3dimat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh3dimat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dimat.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		dvh3dimat.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7	dvh4dimat 41426	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ ((𝑃 ⊕ 𝑃) ⊕ 𝑄))
9	1, 2, 5	dvhlmod 41098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	10, 4, 9, 6	lsatlssel 38984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	10	lsssubg 20896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈))
14	3	lsmidm 19578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑃 ⊕ 𝑃) = 𝑃)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ⊕ 𝑃) = 𝑃)
16	15	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ⊕ 𝑃) ⊕ 𝑄) = (𝑃 ⊕ 𝑄))
17	16	sseq2d 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ ((𝑃 ⊕ 𝑃) ⊕ 𝑄) ↔ 𝑠 ⊆ (𝑃 ⊕ 𝑄)))
18	17	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑠 ⊆ ((𝑃 ⊕ 𝑃) ⊕ 𝑄) ↔ ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃 ⊕ 𝑄)))
19	18	rexbidv 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ ((𝑃 ⊕ 𝑃) ⊕ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃 ⊕ 𝑄)))
20	8, 19	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  SubGrpcsubg 19035  LSSumclsm 19549  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870  LSAtomsclsa 38961  HLchlt 39337  LHypclh 39972  DVecHcdvh 41066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-riotaBAD 38940

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17381  df-proset 18236  df-poset 18255  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18374  df-clat 18441  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19232  df-lsm 19551  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-oppr 20258  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-lsatoms 38963  df-oposet 39163  df-ol 39165  df-oml 39166  df-covers 39253  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338  df-llines 39486  df-lplanes 39487  df-lvols 39488  df-lines 39489  df-psubsp 39491  df-pmap 39492  df-padd 39784  df-lhyp 39976  df-laut 39977  df-ldil 40092  df-ltrn 40093  df-trl 40147  df-tgrp 40731  df-tendo 40743  df-edring 40745  df-dveca 40991  df-disoa 41017  df-dvech 41067  df-dib 41127  df-dic 41161  df-dih 41217  df-doch 41336  df-djh 41383

This theorem is referenced by:  dvh2dimatN  41428