Theorem dvh2dimatN 39462

Description: Given an atom, there exists another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh4dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh4dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh2dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dvh2dimat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh2dimat.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dvh2dimatN	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ≠ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐾,𝑠   𝑃,𝑠   𝑊,𝑠   𝜑,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem dvh2dimatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh4dimat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh4dimat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		dvh2dimat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dvh2dimat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh2dimat.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 6	dvh3dimatN 39461	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃))
8	1, 2, 5	dvhlmod 39132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
9		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
10	9, 4, 8, 6	lsatlssel 37019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LSubSp‘𝑈))
11	9	lsssubg 20229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈))
13	3	lsmidm 19278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) = 𝑃)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) = 𝑃)
15	14	sseq2d 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) ↔ 𝑠 ⊆ 𝑃))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) ↔ 𝑠 ⊆ 𝑃))
17	1, 2, 5	dvhlvec 39131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ 𝐴)
20	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21	4, 18, 19, 20	lsatcmp 37025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ⊆ 𝑃 ↔ 𝑠 = 𝑃))
22	16, 21	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) ↔ 𝑠 = 𝑃))
23	22	necon3bbid 2981	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) ↔ 𝑠 ≠ 𝑃))
24	23	rexbidva 3223	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ⊆ (𝑃(LSSum‘𝑈)𝑃) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ≠ 𝑃))
25	7, 24	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ≠ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3886  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  SubGrpcsubg 18759  LSSumclsm 19249  LModclmod 20133  LSubSpclss 20203  LVecclvec 20374  LSAtomsclsa 36996  HLchlt 37372  LHypclh 38006  DVecHcdvh 39100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-riotaBAD 36975

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-undef 8076  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-0g 17162  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-subg 18762  df-cntz 18933  df-lsm 19251  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lvec 20375  df-lsatoms 36998  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-lplanes 37521  df-lvols 37522  df-lines 37523  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010  df-laut 38011  df-ldil 38126  df-ltrn 38127  df-trl 38181  df-tgrp 38765  df-tendo 38777  df-edring 38779  df-dveca 39025  df-disoa 39051  df-dvech 39101  df-dib 39161  df-dic 39195  df-dih 39251  df-doch 39370  df-djh 39417

This theorem is referenced by: (None)