Theorem lspprel 21058

Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprel	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lsppr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lsppr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lsppr.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsppr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lsppr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsppr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lsppr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lsppr 21057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
11	10	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3135	. . . 4 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
16	15	rexlimivw 3135	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18	17	2rexbidv 3203	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
19	16, 18	elab3 3643	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
20	11, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935

This theorem is referenced by:  lspfixed  21095  lspexch  21096  ccfldextdgrr  33849