Theorem lspprel 20356

Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprel	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lsppr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lsppr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lsppr.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsppr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lsppr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsppr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lsppr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lsppr 20355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
11	10	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
16	15	rexlimivw 3211	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18	17	2rexbidv 3229	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
19	16, 18	elab3 3617	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
20	11, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234

This theorem is referenced by:  lspfixed  20390  lspexch  20391  ccfldextdgrr  31742