Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprel 19863
 Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprel (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsppr.a . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lsppr.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lsppr.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lsppr.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lsppr.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsppr.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
9 lsppr.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 19862 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
1110eleq2d 2878 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12 id 22 . . . . . 6 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13 ovex 7172 . . . . . 6 ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2901 . . . . 5 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1514rexlimivw 3244 . . . 4 (∃𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1615rexlimivw 3244 . . 3 (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17 eqeq1 2805 . . . 4 (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18172rexbidv 3262 . . 3 (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
1916, 18elab3 3625 . 2 (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
2011, 19syl6bb 290 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cab 2779  ∃wrex 3110  Vcvv 3444  {cpr 4530  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741 This theorem is referenced by:  lspfixed  19897  lspexch  19898  ccfldextdgrr  31149
 Copyright terms: Public domain W3C validator