MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprel 20940
Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppr.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppr.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprel (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑙, +   π‘˜,𝐹,𝑙   π‘˜,𝐾,𝑙   π‘˜,𝑁,𝑙   Β· ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑉,𝑙   π‘˜,π‘Š,𝑙   π‘˜,𝑋,𝑙   π‘˜,π‘Œ,𝑙   πœ‘,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsppr.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lsppr.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 lsppr.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
5 lsppr.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsppr.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lsppr.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsppr.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 lsppr.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 20939 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
1110eleq2d 2813 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))}))
12 id 22 . . . . . 6 (𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)))
13 ovex 7437 . . . . . 6 ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2835 . . . . 5 (𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
1514rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
1615rexlimivw 3145 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
17 eqeq1 2730 . . . 4 (𝑣 = 𝑍 β†’ (𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ↔ 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
18172rexbidv 3213 . . 3 (𝑣 = 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
1916, 18elab3 3671 . 2 (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)))
2011, 19bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817
This theorem is referenced by:  lspfixed  20977  lspexch  20978  ccfldextdgrr  33265
  Copyright terms: Public domain W3C validator