MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprel 20345
Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprel (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsppr.a . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lsppr.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lsppr.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lsppr.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lsppr.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsppr.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
9 lsppr.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 20344 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
1110eleq2d 2824 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12 id 22 . . . . . 6 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13 ovex 7302 . . . . . 6 ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2847 . . . . 5 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1514rexlimivw 3210 . . . 4 (∃𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1615rexlimivw 3210 . . 3 (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17 eqeq1 2742 . . . 4 (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18172rexbidv 3228 . . 3 (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
1916, 18elab3 3618 . 2 (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
2011, 19bitrdi 287 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wrex 3065  Vcvv 3431  {cpr 4565  cfv 6428  (class class class)co 7269  Basecbs 16901  +gcplusg 16951  Scalarcsca 16954   ·𝑠 cvsca 16955  LModclmod 20112  LSpanclspn 20222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-0g 17141  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-sbg 18571  df-subg 18741  df-cntz 18912  df-lsm 19230  df-cmn 19377  df-abl 19378  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-lmod 20114  df-lss 20183  df-lsp 20223
This theorem is referenced by:  lspfixed  20379  lspexch  20380  ccfldextdgrr  31729
  Copyright terms: Public domain W3C validator