Theorem lspprel 21050

Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprel	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lsppr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lsppr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lsppr.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsppr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lsppr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsppr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lsppr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lsppr 21049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
11	10	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3134	. . . 4 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
16	15	rexlimivw 3134	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18	17	2rexbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
19	16, 18	elab3 3642	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
20	11, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3061  Vcvv 3441  {cpr 4583  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  LModclmod 20815  LSpanclspn 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927

This theorem is referenced by:  lspfixed  21087  lspexch  21088  ccfldextdgrr  33810