MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprel 20984
Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppr.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppr.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprel (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑙, +   π‘˜,𝐹,𝑙   π‘˜,𝐾,𝑙   π‘˜,𝑁,𝑙   Β· ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑉,𝑙   π‘˜,π‘Š,𝑙   π‘˜,𝑋,𝑙   π‘˜,π‘Œ,𝑙   πœ‘,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsppr.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lsppr.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 lsppr.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
5 lsppr.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsppr.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lsppr.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsppr.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 lsppr.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 20983 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
1110eleq2d 2814 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))}))
12 id 22 . . . . . 6 (𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)))
13 ovex 7457 . . . . . 6 ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2836 . . . . 5 (𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
1514rexlimivw 3147 . . . 4 (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
1615rexlimivw 3147 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
17 eqeq1 2731 . . . 4 (𝑣 = 𝑍 β†’ (𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ↔ 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
18172rexbidv 3215 . . 3 (𝑣 = 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
1916, 18elab3 3675 . 2 (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ)))
2011, 19bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑍 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3471  {cpr 4632  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  Scalarcsca 17241   ·𝑠 cvsca 17242  LModclmod 20748  LSpanclspn 20860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-lsm 19596  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861
This theorem is referenced by:  lspfixed  21021  lspexch  21022  ccfldextdgrr  33365
  Copyright terms: Public domain W3C validator