Theorem lspprel 21399

Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprel	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lsppr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lsppr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lsppr.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsppr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lsppr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsppr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lsppr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lsppr 21398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
11	10	eleq2d 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13		ovex 7476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3163	. . . 4 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
16	15	rexlimivw 3163	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18	17	2rexbidv 3231	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
19	16, 18	elab3 3643	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
20	11, 19	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  LModclmod 21165  LSpanclspn 21276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277

This theorem is used by:  lspfixed  21436  lspexch  21437  ccfldextdgrr  34374