MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 20933
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppr.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppr.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑙, +   π‘˜,𝐹,𝑙   π‘˜,𝐾,𝑙   𝑣,π‘˜,𝑁,𝑙   Β· ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑉,𝑙   π‘˜,π‘Š,𝑙,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑙,𝑣   π‘˜,π‘Œ,𝑙,𝑣   πœ‘,π‘˜,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   Β· (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4624 . . 3 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
21fveq2i 6885 . 2 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
3 lsppr.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
54snssd 4805 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
76snssd 4805 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
108, 9lspun 20826 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
12 eqid 2724 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
138, 12, 9lspsncl 20816 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
143, 4, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
158, 12, 9lspsncl 20816 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
163, 6, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
17 eqid 2724 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1812, 9, 17lsmsp 20926 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
23 lsppr.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 20924 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
2524eqabdv 2859 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
2611, 19, 253eqtr2d 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
272, 26eqtrid 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  βˆƒwrex 3062   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  {csn 4621  {cpr 4623  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  Scalarcsca 17201   ·𝑠 cvsca 17202  LSSumclsm 19546  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  LSpanclspn 20810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811
This theorem is referenced by:  lspprel  20934
  Copyright terms: Public domain W3C validator