MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 20569
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppr.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppr.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑙, +   π‘˜,𝐹,𝑙   π‘˜,𝐾,𝑙   𝑣,π‘˜,𝑁,𝑙   Β· ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑉,𝑙   π‘˜,π‘Š,𝑙,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑙,𝑣   π‘˜,π‘Œ,𝑙,𝑣   πœ‘,π‘˜,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   Β· (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4590 . . 3 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
21fveq2i 6846 . 2 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
3 lsppr.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
54snssd 4770 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
76snssd 4770 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
108, 9lspun 20463 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
138, 12, 9lspsncl 20453 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
143, 4, 13syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
158, 12, 9lspsncl 20453 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
163, 6, 15syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
17 eqid 2733 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1812, 9, 17lsmsp 20562 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
23 lsppr.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 20560 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
2524abbi2dv 2868 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
2611, 19, 253eqtr2d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
272, 26eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  LSSumclsm 19421  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  lspprel  20570
  Copyright terms: Public domain W3C validator