MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 20971
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppr.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppr.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑙, +   π‘˜,𝐹,𝑙   π‘˜,𝐾,𝑙   𝑣,π‘˜,𝑁,𝑙   Β· ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑉,𝑙   π‘˜,π‘Š,𝑙,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑙,𝑣   π‘˜,π‘Œ,𝑙,𝑣   πœ‘,π‘˜,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   Β· (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4627 . . 3 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
21fveq2i 6894 . 2 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
3 lsppr.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
54snssd 4808 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
76snssd 4808 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
108, 9lspun 20864 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
138, 12, 9lspsncl 20854 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
143, 4, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
158, 12, 9lspsncl 20854 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
163, 6, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
17 eqid 2728 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1812, 9, 17lsmsp 20964 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
23 lsppr.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 20962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))))
2524eqabdv 2863 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
2611, 19, 253eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
272, 26eqtrid 2780 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 𝑣 = ((π‘˜ Β· 𝑋) + (𝑙 Β· π‘Œ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆƒwrex 3066   βˆͺ cun 3943   βŠ† wss 3945  {csn 4624  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Scalarcsca 17229   ·𝑠 cvsca 17230  LSSumclsm 19582  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849
This theorem is referenced by:  lspprel  20972
  Copyright terms: Public domain W3C validator