Theorem lsppr 21277

Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppr	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑣,𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙,𝑣   𝑘,𝑋,𝑙,𝑣   𝑘,𝑌,𝑙,𝑣   𝜑,𝑘,𝑙,𝑣

Allowed substitution hints:   + (𝑣)   · (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4587	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		lsppr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsppr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6		lsppr.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
8		lsppr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		lsppr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	8, 9	lspun 21171	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
11	3, 5, 7, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13	8, 12, 9	lspsncl 21161	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	3, 4, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	8, 12, 9	lspsncl 21161	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	3, 6, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
18	12, 9, 17	lsmsp 21270	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
19	3, 14, 16, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20		lsppr.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21		lsppr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
22		lsppr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
23		lsppr.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	8, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6	lsmspsn 21268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
25	24	eqabdv 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
26	11, 19, 25	3eqtr2d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
27	2, 26	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  LSSumclsm 19761  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115  LSpanclspn 21155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156

This theorem is used by:  lspprel  21278