MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 20930
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑣,𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙,𝑣   𝑘,𝑋,𝑙,𝑣   𝑘,𝑌,𝑙,𝑣   𝜑,𝑘,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   · (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4623 . . 3 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
21fveq2i 6884 . 2 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
54snssd 4804 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
76snssd 4804 . . . 4 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspun 20823 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
12 eqid 2724 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
138, 12, 9lspsncl 20813 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
143, 4, 13syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
158, 12, 9lspsncl 20813 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
163, 6, 15syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 eqid 2724 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1812, 9, 17lsmsp 20923 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
23 lsppr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 20921 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
2524eqabdv 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
2611, 19, 253eqtr2d 2770 . 2 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
272, 26eqtrid 2776 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wrex 3062  cun 3938  wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  LSSumclsm 19543  LModclmod 20695  LSubSpclss 20767  LSpanclspn 20807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808
This theorem is referenced by:  lspprel  20931
  Copyright terms: Public domain W3C validator