Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 19867
 Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑣,𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙,𝑣   𝑘,𝑋,𝑙,𝑣   𝑘,𝑌,𝑙,𝑣   𝜑,𝑘,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   · (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4553 . . 3 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
21fveq2i 6666 . 2 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
54snssd 4726 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
76snssd 4726 . . . 4 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspun 19761 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
12 eqid 2824 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
138, 12, 9lspsncl 19751 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
143, 4, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
158, 12, 9lspsncl 19751 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
163, 6, 15syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 eqid 2824 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1812, 9, 17lsmsp 19860 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
23 lsppr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 19858 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
2524abbi2dv 2953 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
2611, 19, 253eqtr2d 2865 . 2 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
272, 26syl5eq 2871 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {cab 2802  ∃wrex 3134   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  Scalarcsca 16570   ·𝑠 cvsca 16571  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746 This theorem is referenced by:  lspprel  19868
 Copyright terms: Public domain W3C validator