Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eulem 39000
 Description: Lemma for hdmap1eu 39002. TODO: combine with hdmap1eu 39002 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s = (-g𝑈)
hdmap1eulem.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1eulem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1eulem.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1eulem.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eulem.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eulem.y (𝜑𝑇𝑉)
hdmap1eulem.l 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulem (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝐶,   𝑥,,𝑦,𝑧,𝐷   ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝐽,𝑥   ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   ,,𝑥   𝑇,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,,𝑧   ,𝑉,𝑦,𝑧   ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝑀(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,)

Proof of Theorem hdmap1eulem
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1eulem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1eulem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1eulem.s . . 3 = (-g𝑈)
5 hdmap1eulem.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1eulem.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1eulem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1eulem.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1eulem.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1eulem.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 hdmap1eulem.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1eulem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1eulem.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 hdmap1eulem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1eulem.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1eulem.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 hdmap1eulem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1eulem.y . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9a 38967 . 2 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2114ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2217ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝐹𝐷)
24 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧𝑉)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 38981 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
2625oteq2d 4789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
2726fveq2d 6647 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28 elun1 4128 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
2928con3i 157 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3014ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
321, 2, 14dvhlmod 38288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
3417eldifad 3922 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
363, 31, 6lspsncl 19725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3733, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
39 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
405, 31, 33, 37, 38, 39lssneln0 19700 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐹𝐷)
4216ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
4317ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
443, 6, 33, 38, 35, 39lspsnne2 19866 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
4544necomd 3062 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
4610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45mapdhcl 38905 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
4718ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇𝑉)
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13hdmap1valc 38981 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4929, 48sylan2 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
5027, 49eqtrd 2856 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
5150eqeq2d 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
5251pm5.74da 803 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5352ralbidva 3184 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5453reubidv 3374 . 2 (𝜑 → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5519, 54mpbird 260 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃!wreu 3128  Vcvv 3471   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908  ifcif 4440  {csn 4540  ⟨cotp 4548   ↦ cmpt 5119  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  (class class class)co 7130  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  Basecbs 16462  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  HLchlt 36528  LHypclh 37162  DVecHcdvh 38256  LCDualclcd 38764  mapdcmpd 38802  HDMap1chdma1 38969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36131 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36154  df-lshyp 36155  df-lcv 36197  df-lfl 36236  df-lkr 36264  df-ldual 36302  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-llines 36676  df-lplanes 36677  df-lvols 36678  df-lines 36679  df-psubsp 36681  df-pmap 36682  df-padd 36974  df-lhyp 37166  df-laut 37167  df-ldil 37282  df-ltrn 37283  df-trl 37337  df-tgrp 37921  df-tendo 37933  df-edring 37935  df-dveca 38181  df-disoa 38207  df-dvech 38257  df-dib 38317  df-dic 38351  df-dih 38407  df-doch 38526  df-djh 38573  df-lcdual 38765  df-mapd 38803  df-hdmap1 38971 This theorem is referenced by:  hdmap1eu  39002
 Copyright terms: Public domain W3C validator