Theorem hdmap1eulem 41824

Description: Lemma for hdmap1eu 41826. TODO: combine with hdmap1eu 41826 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1eulem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1eulem.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1eulem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1eulem.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1eulem.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eulem.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eulem.y	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmap1eulem.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1eulem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   𝑥,ℎ,𝑦,𝑧,𝐷   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,ℎ,𝑥   − ,ℎ,𝑥   𝑇,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,ℎ,𝑧   ℎ,𝑉,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,ℎ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem hdmap1eulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1eulem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1eulem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1eulem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap1eulem.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		hdmap1eulem.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1eulem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1eulem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1eulem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmap1eulem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		hdmap1eulem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		hdmap1eulem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap1eulem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1eulem.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		hdmap1eulem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		hdmap1eulem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		hdmap1eulem.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		hdmap1eulem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		hdmap1eulem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	mapdh9a 41791	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20		hdmap1eulem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
21	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
24		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13	hdmap1valc 41805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
26	25	oteq2d 4886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
27	26	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28		elun1 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
29	28	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
32	1, 2, 14	dvhlmod 41112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
34	17	eldifad 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	3, 31, 6	lspsncl 20975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
40	5, 31, 33, 37, 38, 39	lssneln0 20951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
43	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	3, 6, 33, 38, 35, 39	lspsnne2 21120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
45	44	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
46	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45	mapdhcl 41729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
47	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13	hdmap1valc 41805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
49	29, 48	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
50	27, 49	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
51	50	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
52	51	pm5.74da 804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
53	52	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
54	53	reubidv 3398	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
55	19, 54	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃!wreu 3378  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949  ifcif 4525  {csn 4626  ⟨cotp 4634   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  -_gcsg 18953  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626  HDMap1chdma1 41793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hdmap1 41795

This theorem is referenced by:  hdmap1eu  41826