Theorem hdmap1eulem 41860

Description: Lemma for hdmap1eu 41862. TODO: combine with hdmap1eu 41862 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1eulem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1eulem.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1eulem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1eulem.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1eulem.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eulem.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eulem.y	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmap1eulem.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1eulem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   𝑥,ℎ,𝑦,𝑧,𝐷   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,ℎ,𝑥   − ,ℎ,𝑥   𝑇,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,ℎ,𝑧   ℎ,𝑉,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,ℎ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem hdmap1eulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1eulem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1eulem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1eulem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap1eulem.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		hdmap1eulem.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1eulem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1eulem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1eulem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmap1eulem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		hdmap1eulem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		hdmap1eulem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap1eulem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1eulem.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		hdmap1eulem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		hdmap1eulem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		hdmap1eulem.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		hdmap1eulem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		hdmap1eulem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	mapdh9a 41827	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20		hdmap1eulem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
21	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
24		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13	hdmap1valc 41841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
26	25	oteq2d 4838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
27	26	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28		elun1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
29	28	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
32	1, 2, 14	dvhlmod 41148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
34	17	eldifad 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	3, 31, 6	lspsncl 20908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
40	5, 31, 33, 37, 38, 39	lssneln0 20884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
43	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	3, 6, 33, 38, 35, 39	lspsnne2 21053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
45	44	necomd 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
46	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45	mapdhcl 41765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
47	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13	hdmap1valc 41841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
49	29, 48	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
50	27, 49	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
51	50	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
52	51	pm5.74da 803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
53	52	ralbidva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
54	53	reubidv 3362	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
55	19, 54	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃!wreu 3344  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900  ifcif 4475  {csn 4576  ⟨cotp 4584   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  Basecbs 17117  0_gc0g 17340  -_gcsg 18845  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902  HLchlt 39388  LHypclh 40022  DVecHcdvh 41116  LCDualclcd 41624  mapdcmpd 41662  HDMap1chdma1 41829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20426  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035  df-lsatoms 39014  df-lshyp 39015  df-lcv 39057  df-lfl 39096  df-lkr 39124  df-ldual 39162  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tgrp 40781  df-tendo 40793  df-edring 40795  df-dveca 41041  df-disoa 41067  df-dvech 41117  df-dib 41177  df-dic 41211  df-dih 41267  df-doch 41386  df-djh 41433  df-lcdual 41625  df-mapd 41663  df-hdmap1 41831

This theorem is referenced by:  hdmap1eu  41862