Theorem hdmaprnlem1N 40301

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 10, Gu' ≠ Gs. Our (𝑁‘{𝑣}) is Baer's T. (Contributed by NM, 26-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmaprnlem1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		hdmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hdmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 39562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
9		hdmaprnlem1.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	lspsnne2 20575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12		hdmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	1, 11, 2	lspsncl 20434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	6, 7, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	1, 11, 2	lspsncl 20434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 8, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	3, 4, 11, 12, 5, 14, 16	mapd11 40091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) = (𝑁‘{𝑣})))
18	17	necon3bid 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
19	10, 18	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
20		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
21		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
22		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 4, 1, 2, 20, 21, 12, 22, 5, 7	hdmap10 40292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
24		hdmaprnlem1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25	19, 23, 24	3netr3d 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3906  {csn 4585  ‘cfv 6494  Basecbs 17080  LModclmod 20318  LSubSpclss 20388  LSpanclspn 20428  HLchlt 37801  LHypclh 38436  DVecHcdvh 39530  LCDualclcd 40038  mapdcmpd 40076  HDMapchdma 40244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-riotaBAD 37404

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-undef 8201  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-0g 17320  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-proset 18181  df-poset 18199  df-plt 18216  df-lub 18232  df-glb 18233  df-join 18234  df-meet 18235  df-p0 18311  df-p1 18312  df-lat 18318  df-clat 18385  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-subg 18921  df-cntz 19093  df-oppg 19120  df-lsm 19414  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-oppr 20045  df-dvdsr 20066  df-unit 20067  df-invr 20097  df-dvr 20108  df-drng 20183  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-lsp 20429  df-lvec 20560  df-lsatoms 37427  df-lshyp 37428  df-lcv 37470  df-lfl 37509  df-lkr 37537  df-ldual 37575  df-oposet 37627  df-ol 37629  df-oml 37630  df-covers 37717  df-ats 37718  df-atl 37749  df-cvlat 37773  df-hlat 37802  df-llines 37950  df-lplanes 37951  df-lvols 37952  df-lines 37953  df-psubsp 37955  df-pmap 37956  df-padd 38248  df-lhyp 38440  df-laut 38441  df-ldil 38556  df-ltrn 38557  df-trl 38611  df-tgrp 39195  df-tendo 39207  df-edring 39209  df-dveca 39455  df-disoa 39481  df-dvech 39531  df-dib 39591  df-dic 39625  df-dih 39681  df-doch 39800  df-djh 39847  df-lcdual 40039  df-mapd 40077  df-hvmap 40209  df-hdmap1 40245  df-hdmap 40246

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  40302  hdmaprnlem3uN  40303  hdmaprnlem3eN  40310