Theorem hdmaprnlem1N 41958

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 10, Gu' ≠ Gs. Our (𝑁‘{𝑣}) is Baer's T. (Contributed by NM, 26-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmaprnlem1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		hdmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hdmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
9		hdmaprnlem1.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	lspsnne2 21055	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12		hdmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	1, 11, 2	lspsncl 20910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	6, 7, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	1, 11, 2	lspsncl 20910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 8, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	3, 4, 11, 12, 5, 14, 16	mapd11 41748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) = (𝑁‘{𝑣})))
18	17	necon3bid 2972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
19	10, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
20		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
21		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
22		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 4, 1, 2, 20, 21, 12, 22, 5, 7	hdmap10 41949	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
24		hdmaprnlem1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25	19, 23, 24	3netr3d 3004	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4573  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  LCDualclcd 41695  mapdcmpd 41733  HDMapchdma 41901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lcv 39128  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-ldual 39233  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504  df-lcdual 41696  df-mapd 41734  df-hvmap 41866  df-hdmap1 41902  df-hdmap 41903

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  41959  hdmaprnlem3uN  41960  hdmaprnlem3eN  41967