Theorem hdmaprnlem1N 41836

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 10, Gu' ≠ Gs. Our (𝑁‘{𝑣}) is Baer's T. (Contributed by NM, 26-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmaprnlem1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		hdmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hdmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
9		hdmaprnlem1.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	lspsnne2 21060	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12		hdmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	1, 11, 2	lspsncl 20915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	6, 7, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	1, 11, 2	lspsncl 20915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 8, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	3, 4, 11, 12, 5, 14, 16	mapd11 41626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) = (𝑁‘{𝑣})))
18	17	necon3bid 2969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
19	10, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
20		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
21		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
22		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 4, 1, 2, 20, 21, 12, 22, 5, 7	hdmap10 41827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
24		hdmaprnlem1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25	19, 23, 24	3netr3d 3001	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  {csn 4585  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  HLchlt 39336  LHypclh 39971  DVecHcdvh 41065  LCDualclcd 41573  mapdcmpd 41611  HDMapchdma 41779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-nzr 20433  df-rlreg 20614  df-domn 20615  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-lshyp 38963  df-lcv 39005  df-lfl 39044  df-lkr 39072  df-ldual 39110  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tgrp 40730  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-dveca 40990  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216  df-doch 41335  df-djh 41382  df-lcdual 41574  df-mapd 41612  df-hvmap 41744  df-hdmap1 41780  df-hdmap 41781

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  41837  hdmaprnlem3uN  41838  hdmaprnlem3eN  41845