Theorem lspexchn1 21369

Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 21368 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspexchn1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspexchn1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspexchn1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspexchn1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspexchn1.q	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
lspexchn1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Proof of Theorem lspexchn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspexchn1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2		lspexchn1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lspexchn1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspexchn1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lveclmod 21342	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lspexchn1.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	2, 7, 4	lspsncl 21213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspexchn1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		lspexchn1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
15	3, 7, 9, 12, 13, 14	lssneln0 21189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
17		lspexchn1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	2, 4, 9, 13, 10, 14	lspsnne2 21357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
23	2, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22	lspexch 21368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
24	1, 23	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  LModclmod 21096  LSubSpclss 21167  LSpanclspn 21207  LVecclvec 21338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-lsm 19811  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-drng 20943  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-lvec 21339

This theorem is used by:  lspexchn2  21370