Theorem lspexchn1 21124

Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 21123 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspexchn1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspexchn1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspexchn1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspexchn1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspexchn1.q	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
lspexchn1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Proof of Theorem lspexchn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspexchn1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2		lspexchn1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lspexchn1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspexchn1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lveclmod 21097	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lspexchn1.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	2, 7, 4	lspsncl 20967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspexchn1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		lspexchn1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
15	3, 7, 9, 12, 13, 14	lssneln0 20943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
17		lspexchn1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	2, 4, 9, 13, 10, 14	lspsnne2 21112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
22		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
23	2, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22	lspexch 21123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
24	1, 23	mtand 816	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094

This theorem is referenced by:  lspexchn2  21125