Theorem lspexchn1 21089

Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 21088 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspexchn1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspexchn1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspexchn1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspexchn1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspexchn1.q	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
lspexchn1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Proof of Theorem lspexchn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspexchn1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2		lspexchn1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lspexchn1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspexchn1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑊 ∈ LVec)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8		lveclmod 21062	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		lspexchn1.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	2, 7, 4	lspsncl 20932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspexchn1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		lspexchn1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
15	3, 7, 9, 12, 13, 14	lssneln0 20908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}))
17		lspexchn1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
19	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	2, 4, 9, 13, 10, 14	lspsnne2 21077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
22		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
23	2, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22	lspexch 21088	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
24	1, 23	mtand 816	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  {csn 4581  {cpr 4583  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  LModclmod 20815  LSubSpclss 20886  LSpanclspn 20926  LVecclvec 21058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059

This theorem is referenced by:  lspexchn2  21090