Theorem pcprendvds 17059

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
2		pclem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
3	1, 2	pcprecl 17058	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
4	3	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		nn0re 12653	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
6		ltp1 12195	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 < (𝑆 + 1))
7		peano2re 11520	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 + 1) ∈ ℝ)
8		ltnle 11426	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 1) ∈ ℝ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
9	7, 8	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
10	6, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
11	4, 5, 10	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
12	1	pclem 17057	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13		peano2nn0 12684	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
14		oveq2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
15	14	breq1d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
16		oveq2 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
17	16	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
18	17	cbvrabv 3426	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
19	1, 18	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
20	15, 19	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
21	20	simplbi2 506	. . . 4 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
22	4, 13, 21	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
23		suprzub 13104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	23, 2	breqtrrdi 5151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
25	24	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
26	25	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
27	12, 22, 26	sylsyld 62	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
28	11, 27	mtod 201	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  supcsup 9467  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003  ↑cexp 14242   ∥ cdvds 16463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464

This theorem is used by:  pcprendvds2  17060  pczndvds  17084