MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprendvds 16879
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
2 pclem.2 . . . . 5 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
31, 2pcprecl 16878 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
43simpld 494 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5 nn0re 12537 . . 3 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
6 ltp1 12108 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 < (𝑆 + 1))
7 peano2re 11435 . . . . 5 (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 + 1) ∈ ℝ)
8 ltnle 11341 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 1) ∈ ℝ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
97, 8mpdan 687 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
106, 9mpbid 232 . . 3 (𝑆 ∈ ℝ → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
114, 5, 103syl 18 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
121pclem 16877 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
13 peano2nn0 12568 . . . 4 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
14 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
1514breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆 + 1) → ((𝑃𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
16 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑥 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑥))
1716breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁))
1817cbvrabv 3446 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
191, 18eqtri 2764 . . . . . 6 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
2015, 19elrab2 3694 . . . . 5 ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
2120simplbi2 500 . . . 4 ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
224, 13, 213syl 18 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
23 suprzub 12982 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2423, 2breqtrrdi 5184 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
25243expia 1121 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
26253adant2 1131 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
2712, 22, 26sylsyld 61 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
2811, 27mtod 198 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  cexp 14103  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  pcprendvds2  16880  pczndvds  16904
  Copyright terms: Public domain W3C validator