MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprendvds 16874
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
2 pclem.2 . . . . 5 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
31, 2pcprecl 16873 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
43simpld 494 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5 nn0re 12533 . . 3 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
6 ltp1 12105 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 < (𝑆 + 1))
7 peano2re 11432 . . . . 5 (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 + 1) ∈ ℝ)
8 ltnle 11338 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 1) ∈ ℝ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
97, 8mpdan 687 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
106, 9mpbid 232 . . 3 (𝑆 ∈ ℝ → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
114, 5, 103syl 18 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
121pclem 16872 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
13 peano2nn0 12564 . . . 4 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
14 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
1514breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆 + 1) → ((𝑃𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
16 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑥 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑥))
1716breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁))
1817cbvrabv 3444 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
191, 18eqtri 2763 . . . . . 6 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
2015, 19elrab2 3698 . . . . 5 ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
2120simplbi2 500 . . . 4 ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
224, 13, 213syl 18 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
23 suprzub 12979 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2423, 2breqtrrdi 5190 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
25243expia 1120 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
26253adant2 1130 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
2712, 22, 26sylsyld 61 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
2811, 27mtod 198 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  cexp 14099  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  pcprendvds2  16875  pczndvds  16899
  Copyright terms: Public domain W3C validator