MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopnst 23067
Description: A half-open interval ending at 𝐵 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iocopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
iocopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iocopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22897 . . . . 5 (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 simp2 1168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣)
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣))
6 ltp1 11153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
76adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
8 peano2re 10499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9 lelttr 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1093expa 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1110ancom1s 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1211ancomsd 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
138, 12mpidan 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
147, 13mpand 687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑣𝐵𝑣 < (𝐵 + 1)))
1514impr 447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
16153adantr2 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
1716ex 402 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1817ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
193, 5, 183jcad 1160 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
20 rexr 10374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21 elico2 12486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2220, 21sylan2 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2322biimpa 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
24 lelttr 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴 < 𝑣))
25 ltle 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
26253adant2 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
2724, 26syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
28273expa 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
2928imp 396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
3029an4s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
31303adantr3 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
3231ex 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3332anasss 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
34333adantr3 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3534adantlr 707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3623, 35syldan 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
37 simp3 1169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵))
393, 36, 383jcad 1160 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
4019, 39jcad 509 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
41 simpl1 1243 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
42 simpl2 1245 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐶 < 𝑣)
43 simpr3 1253 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣𝐵)
4441, 42, 433jca 1159 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵))
4540, 44impbid1 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
4623simp1d 1173 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
47 rexr 10374 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 simplr 786 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elioc2 12485 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
5148, 49, 50syl2anc 580 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
52 elin 3994 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
53 rexr 10374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 + 1) ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
56 elioo2 12465 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
5748, 55, 56syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
58 elicc2 12487 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5958adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
6057, 59anbi12d 625 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6152, 60syl5bb 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6245, 51, 613bitr4d 303 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6362eqrdv 2797 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64 ineq1 4005 . . . . . 6 (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6564rspceeqv 3515 . . . . 5 (((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
661, 63, 65sylancr 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
67 retop 22893 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
68 ovex 6910 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
69 elrest 16403 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
7067, 68, 69mp2an 684 . . . 4 ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7166, 70sylibr 226 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
72 iccssre 12504 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7372adantr 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74 eqid 2799 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
75 iocopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7674, 75resubmet 22933 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7773, 76syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7871, 77eleqtrrd 2881 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
7978ex 402 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  Vcvv 3385  cin 3768  wss 3769   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ran crn 5313  cres 5314  ccom 5316  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  1c1 10225   + caddc 10227  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  (,)cioo 12424  (,]cioc 12425  [,)cico 12426  [,]cicc 12427  abscabs 14315  t crest 16396  topGenctg 16413  MetOpencmopn 20058  Topctop 21026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-rest 16398  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator