MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexple 26773
Description: Convert a bound on a power to a bound on the exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexple (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค ๐ต โ†” ๐‘ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)))))

Proof of Theorem efexple
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 0lt1 11732 . . . . . . . 8 0 < 1
3 0re 11212 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
4 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
5 lttr 11286 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
63, 4, 5mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
72, 6mpani 694 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
87imp 407 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
91, 8elrpd 13009 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
1093ad2ant1 1133 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
11 simp2 1137 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 reexplog 26094 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))))
14 reeflog 26080 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ต)) = ๐ต)
15143ad2ant3 1135 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ต)) = ๐ต)
1615eqcomd 2738 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต = (expโ€˜(logโ€˜๐ต)))
1713, 16breq12d 5160 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค ๐ต โ†” (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ต))))
18 zre 12558 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
19183ad2ant2 1134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
20 rplogcl 26103 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
21203ad2ant1 1133 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2221rpred 13012 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2319, 22remulcld 11240 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
24 relogcl 26075 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
25243ad2ant3 1135 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
26 efle 16057 . . 3 (((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (logโ€˜๐ต) โ†” (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ต))))
2723, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (logโ€˜๐ต) โ†” (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ต))))
2819, 25, 21lemuldivd 13061 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (logโ€˜๐ต) โ†” ๐‘ โ‰ค ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด))))
2925, 21rerpdivcld 13043 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
30 flge 13766 . . . 4 ((((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)))))
3129, 11, 30syl2anc 584 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ โ‰ค ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)) โ†” ๐‘ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)))))
3228, 31bitrd 278 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (logโ€˜๐ต) โ†” ๐‘ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)))))
3317, 27, 323bitr2d 306 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค ๐ต โ†” ๐‘ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   / cdiv 11867  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  โŒŠcfl 13751  โ†‘cexp 14023  expce 16001  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056
This theorem is referenced by:  bposlem1  26776  lighneallem2  46260
  Copyright terms: Public domain W3C validator