Theorem efexple 26429

Description: Convert a bound on a power to a bound on the exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efexple	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑁) ≤ 𝐵 ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((log‘𝐵) / (log‘𝐴)))))

Proof of Theorem efexple

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0lt1 11497	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
3		0re 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		lttr 11051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	2, 6	mpani 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
8	7	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
9	1, 8	elrpd 12769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		simp2 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		reexplog 25750	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
14		reeflog 25736	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
15	14	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
16	15	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 = (exp‘(log‘𝐵)))
17	13, 16	breq12d 5087	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑁) ≤ 𝐵 ↔ (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
18		zre 12323	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		rplogcl 25759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
23	19, 22	remulcld 11005	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
24		relogcl 25731	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
26		efle 15827	. . 3 ⊢ (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
28	19, 25, 21	lemuldivd 12821	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) ≤ (log‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴))))
29	25, 21	rerpdivcld 12803	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
30		flge 13525	. . . 4 ⊢ ((((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((log‘𝐵) / (log‘𝐴)))))
31	29, 11, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((log‘𝐵) / (log‘𝐴)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((log‘𝐵) / (log‘𝐴)))))
32	28, 31	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) ≤ (log‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((log‘𝐵) / (log‘𝐴)))))
33	17, 27, 32	3bitr2d 307	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑𝑁) ≤ 𝐵 ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((log‘𝐵) / (log‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  ⌊cfl 13510  ↑cexp 13782  expce 15771  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  bposlem1  26432  lighneallem2  45058