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Theorem bgoldbtbndlem4 47061
Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 47062. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
bgoldbtbnd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
bgoldbtbnd.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
bgoldbtbnd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (RePartβ€˜π·))
bgoldbtbnd.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
bgoldbtbnd.0 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 13)
bgoldbtbnd.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < (πΉβ€˜π·))
bgoldbtbnd.r (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π·) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem4 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐷,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝐹,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝐼,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝑛,𝑁   𝑋,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   πœ‘,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑁(π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ πœ‘)
2 simpr 484 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ 𝑋 ∈ Odd )
3 simplr 768 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ 𝐼 ∈ (1..^𝐷))
4 bgoldbtbnd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
5 bgoldbtbnd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
6 bgoldbtbnd.b . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
7 bgoldbtbnd.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
8 bgoldbtbnd.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (RePartβ€˜π·))
9 bgoldbtbnd.i . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
10 bgoldbtbnd.0 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = 7)
11 bgoldbtbnd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 13)
12 bgoldbtbnd.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 < (πΉβ€˜π·))
13 eqid 2727 . . . 4 (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13bgoldbtbndlem2 47059 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
151, 2, 3, 14syl3anc 1369 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
16 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (4 < 𝑛 ↔ 4 < π‘š))
17 breq1 5145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 < 𝑁 ↔ π‘š < 𝑁))
1816, 17anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁)))
19 eleq1 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ π‘š ∈ GoldbachEven ))
2018, 19imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁) β†’ π‘š ∈ GoldbachEven )))
2120cbvralvw 3229 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ βˆ€π‘š ∈ Even ((4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁) β†’ π‘š ∈ GoldbachEven ))
22 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (4 < π‘š ↔ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
23 breq1 5145 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š < 𝑁 ↔ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))
2422, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ ((4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁) ↔ (4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
25 eleq1 2816 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š ∈ GoldbachEven ↔ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ))
2624, 25imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (((4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁) β†’ π‘š ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven )))
2726rspcv 3603 . . . . . . . . 9 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (βˆ€π‘š ∈ Even ((4 < π‘š ∧ π‘š < 𝑁) β†’ π‘š ∈ GoldbachEven ) β†’ ((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven )))
2821, 27biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) β†’ ((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven )))
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ) β†’ ((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ))
30 isgbe 47004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))))
31 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
3231ralimi 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
33 elfzo1 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ β„• ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ 𝐼 < 𝐷))
34 nnm1nn0 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐼 ∈ β„• β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
35343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐼 ∈ β„• ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ 𝐼 < 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3633, 35sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0))
38 eluzge3nn 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝐷 ∈ β„•)
3938a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ 𝐷 ∈ β„•))
40 elfzo2 13653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€ ∧ 𝐼 < 𝐷))
41 eluzelre 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
4342ltm1d 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐼)
44 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ ℝ)
4542, 44resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
46 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 ∈ β„€ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
48 lttr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐼 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (((𝐼 βˆ’ 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
4945, 42, 47, 48syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (((𝐼 βˆ’ 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
5043, 49mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 < 𝐷 β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
51503impia 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐷 ∈ β„€ ∧ 𝐼 < 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷)
5240, 51sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
5437, 39, 533jcad 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷)))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
57 elfzo0 13691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷) ↔ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ∈ β„• ∧ (𝐼 βˆ’ 1) < 𝐷))
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷))
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
6059eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
6160rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
6258, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
63 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)
6462, 63syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™))
6564expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)))
6665com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)))
6732, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)))
689, 67mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™))
7069imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)
73 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Ÿ ∈ Odd ↔ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
74733anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )))
75 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
7675eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ (𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) ↔ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
7774, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) ∧ π‘Ÿ = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
79 oddprmALTV 46940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )
8062, 79syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
8180expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )))
8281com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )))
8332, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )))
849, 83mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
8685imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )
8786ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )
88 3simpa 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ))
8987, 88anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
90 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
9189, 90sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
92 oddz 46884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑋 ∈ Odd β†’ 𝑋 ∈ β„€)
9392zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋 ∈ Odd β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
97 prmz 16631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9897zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9963, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10062, 99syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
101100expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)))
102101com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)))
10332, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)))
1049, 103mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
106105imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
107106ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10996, 108npcand 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = 𝑋)
110 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
111109, 110sylan9req 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™)) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
112111exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) β†’ (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž) β†’ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
113112com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž) β†’ (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
1141133impia 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
115114impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
11691, 115jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
11772, 78, 116rspcedvd 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
118117ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
119118reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
120119reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ πœ‘) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
121120exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))))))
122121com25 99 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))))))
123122imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (𝑝 + π‘ž))) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))
12430, 123sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))
125124a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))))))
12629, 125syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))))
127126ancoms 458 . . . . . . . . 9 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))))
128127com13 88 . . . . . . . 8 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (((4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ GoldbachEven ) β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))))
12928, 128syld 47 . . . . . . 7 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))))
130129com23 86 . . . . . 6 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))))
1311303impib 1114 . . . . 5 (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))))))
132131com15 101 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))))))
1336, 132mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))))
134133imp31 417 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ (((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
13515, 134syld 47 1 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  7c7 12288  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  cdc 12693  β„€β‰₯cuz 12838  [,)cico 13344  ..^cfzo 13645  β„™cprime 16627  RePartciccp 46666   Even ceven 46877   Odd codd 46878   GoldbachEven cgbe 46998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-prm 16628  df-iccp 46667  df-even 46879  df-odd 46880  df-gbe 47001
This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  47062
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