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Theorem bgoldbtbndlem4 43824
Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 43825. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem4 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝐷,𝑝,𝑞,𝑟   𝐹,𝑝,𝑞,𝑟   𝐼,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑁   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟   𝜑,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑁(𝑟,𝑞,𝑝)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . 3 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝜑)
2 simpr 485 . . 3 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ Odd )
3 simplr 765 . . 3 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝐼 ∈ (1..^𝐷))
4 bgoldbtbnd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
5 bgoldbtbnd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
6 bgoldbtbnd.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
7 bgoldbtbnd.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
8 bgoldbtbnd.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
9 bgoldbtbnd.i . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
10 bgoldbtbnd.0 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
11 bgoldbtbnd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
12 bgoldbtbnd.l . . . 4 (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
13 eqid 2826 . . . 4 (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13bgoldbtbndlem2 43822 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
151, 2, 3, 14syl3anc 1365 . 2 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
16 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
17 breq1 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁𝑚 < 𝑁))
1816, 17anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚𝑚 < 𝑁)))
19 eleq1 2905 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
2018, 19imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
2120cbvralv 3458 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
22 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23 breq1 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
2422, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
25 eleq1 2905 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
2624, 25imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
2726rspcv 3622 . . . . . . . . 9 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
2821, 27syl5bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
30 isgbe 43767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))))
31 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
3231ralimi 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
33 elfzo1 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷))
34 nnm1nn0 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
35343ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
3633, 35sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0))
38 eluzge3nn 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
3938a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ))
40 elfzo2 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
41 eluzelre 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) → 𝐼 ∈ ℝ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4342ltm1d 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) < 𝐼)
44 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
4542, 44resubcld 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
46 zre 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
48 lttr 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐼 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
4945, 42, 47, 48syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
5043, 49mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐷 → (𝐼 − 1) < 𝐷))
51503impia 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
5240, 51sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
5437, 39, 533jcad 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
5655imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
57 elfzo0 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
5856, 57sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
59 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
6059eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6160rspcv 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6258, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
63 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
6462, 63syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
6564expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
6665com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
6732, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
689, 67mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
7069imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
7170ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
73 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
74733anbi3d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
75 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
7675eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
7774, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
79 oddprmALTV 43703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
8062, 79syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
8180expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
8281com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
8332, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
849, 83mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
8685imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
8786ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
88 3simpa 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
8987, 88anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
90 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
9189, 90sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
92 oddz 43647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
9392zcnd 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℂ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9594ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
97 prmz 16014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
9897zcnd 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
9963, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
10062, 99syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
101100expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
102101com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
10332, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
1049, 103mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
106105imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
107106ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
10996, 108npcand 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = 𝑋)
110 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
111109, 110sylan9req 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
112111exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
113112com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
1141133impia 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
115114impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
11691, 115jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
11772, 78, 116rspcedvd 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118117ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119118reximdva 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120119reximdva 3279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121120exp41 435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
122121com25 99 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
123122imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
12430, 123sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
125124a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
12629, 125syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
127126ancoms 459 . . . . . . . . 9 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
128127com13 88 . . . . . . . 8 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
12928, 128syld 47 . . . . . . 7 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
130129com23 86 . . . . . 6 ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
1311303impib 1110 . . . . 5 (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
132131com15 101 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
1336, 132mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
134133imp31 418 . 2 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
13515, 134syld 47 1 (((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  cdif 3937  {csn 4564   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  7c7 11691  0cn0 11891  cz 11975  cdc 12092  cuz 12237  [,)cico 12735  ..^cfzo 13028  cprime 16010  RePartciccp 43424   Even ceven 43640   Odd codd 43641   GoldbachEven cgbe 43761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16011  df-iccp 43425  df-even 43642  df-odd 43643  df-gbe 43764
This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  43825
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