bgoldbtbndlem4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem4 46102

Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 46103. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbnd.r	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝐷,𝑝,𝑞,𝑟 𝐹,𝑝,𝑞,𝑟 𝐼,𝑝,𝑞,𝑟 𝑛,𝑁 𝑋,𝑝,𝑞,𝑟 𝜑,𝑝,𝑞,𝑟 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝) 𝑁(𝑟,𝑞,𝑝) 𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝜑)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ Odd )
3		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝐼 ∈ (1..^𝐷))
4		bgoldbtbnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
5		bgoldbtbnd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
6		bgoldbtbnd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
7		bgoldbtbnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
8		bgoldbtbnd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
9		bgoldbtbnd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
10		bgoldbtbnd.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
11		bgoldbtbnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
12		bgoldbtbnd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
13		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	bgoldbtbndlem2 46100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
16		breq2 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
17		breq1 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁 ↔ 𝑚 < 𝑁))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)))
19		eleq1 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
20	18, 19	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
21	20	cbvralvw 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
22		breq2 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23		breq1 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
24	22, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
25		eleq1 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
26	24, 25	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
27	26	rspcv 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
28	21, 27	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
30		isgbe 46045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))))
31		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
32	31	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
33		elfzo1 13633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷))
34		nnm1nn0 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
35	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀))
38		eluzge3nn 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
39	38	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ))
40		elfzo2 13586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
41		eluzelre 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	41	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	ltm1d 12097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) < 𝐼)
44		1red 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
45	42, 44	resubcld 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
46		zre 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
47	46	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
48		lttr 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐼 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
49	45, 42, 47, 48	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
50	43, 49	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐷 → (𝐼 − 1) < 𝐷))
51	50	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
52	40, 51	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
54	37, 39, 53	3jcad 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
55	7, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
56	55	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
57		elfzo0 13624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
58	56, 57	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
59		fveq2 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
60	59	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	60	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
63		eldifi 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
64	62, 63	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
65	64	expcom 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
66	65	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
68	9, 67	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
69	68	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
70	69	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
71	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
73		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
74	73	3anbi3d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
75		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
76	75	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
77	74, 76	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
78	77	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
79		oddprmALTV 45981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
80	62, 79	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
81	80	expcom 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
82	81	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
83	32, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
84	9, 83	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
85	84	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
86	85	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
87	86	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
88		3simpa 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
89	87, 88	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
90		df-3an 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
91	89, 90	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
92		oddz 45925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℂ)
94	93	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ ℂ)
95	94	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ ℂ)
96	95	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
97		prmz 16563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
98	97	zcnd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
99	63, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
100	62, 99	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
101	100	expcom 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
102	101	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
103	32, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
104	9, 103	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
105	104	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
106	105	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
107	106	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
108	107	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
109	96, 108	npcand 11526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = 𝑋)
110		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
111	109, 110	sylan9req 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
112	111	exp31 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
114	113	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
115	114	impcom 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
116	91, 115	jca 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
117	72, 78, 116	rspcedvd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118	117	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119	118	reximdva 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120	119	reximdva 3162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121	120	exp41 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
122	121	com25 99	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
123	122	imp 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
124	30, 123	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
125	124	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
126	29, 125	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
127	126	ancoms 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
128	127	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
129	28, 128	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
130	129	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
131	130	3impib 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
132	131	com15 101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
133	6, 132	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
134	133	imp31 419	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
135	15, 134	syld 47	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 ∖ cdif 3911 {csn 4592 class class class wbr 5111 ‘cfv 6502 (class class class)co 7363 ℂcc 11059 ℝcr 11060 0cc0 11061 1c1 11062 + caddc 11064 < clt 11199 ≤ cle 11200 − cmin 11395 ℕcn 12163 2c2 12218 3c3 12219 4c4 12220 7c7 12223 ℕ₀cn0 12423 ℤcz 12509 cdc 12628 ℤ_≥cuz 12773 [,)cico 13277 ..^cfzo 13578 ℙcprime 16559 RePartciccp 45707 Even ceven 45918 Odd codd 45919 GoldbachEven cgbe 46039

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2703 ax-sep 5262 ax-nul 5269 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7678 ax-cnex 11117 ax-resscn 11118 ax-1cn 11119 ax-icn 11120 ax-addcl 11121 ax-addrcl 11122 ax-mulcl 11123 ax-mulrcl 11124 ax-mulcom 11125 ax-addass 11126 ax-mulass 11127 ax-distr 11128 ax-i2m1 11129 ax-1ne0 11130 ax-1rid 11131 ax-rnegex 11132 ax-rrecex 11133 ax-cnre 11134 ax-pre-lttri 11135 ax-pre-lttrn 11136 ax-pre-ltadd 11137 ax-pre-mulgt0 11138 ax-pre-sup 11139

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4289 df-if 4493 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4872 df-iun 4962 df-br 5112 df-opab 5174 df-mpt 5195 df-tr 5229 df-id 5537 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5645 df-rel 5646 df-cnv 5647 df-co 5648 df-dm 5649 df-rn 5650 df-res 5651 df-ima 5652 df-pred 6259 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6504 df-fn 6505 df-f 6506 df-f1 6507 df-fo 6508 df-f1o 6509 df-fv 6510 df-riota 7319 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7809 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8218 df-wrecs 8249 df-recs 8323 df-rdg 8362 df-1o 8418 df-2o 8419 df-er 8656 df-map 8775 df-en 8892 df-dom 8893 df-sdom 8894 df-fin 8895 df-sup 9388 df-pnf 11201 df-mnf 11202 df-xr 11203 df-ltxr 11204 df-le 11205 df-sub 11397 df-neg 11398 df-div 11823 df-nn 12164 df-2 12226 df-3 12227 df-4 12228 df-n0 12424 df-z 12510 df-uz 12774 df-rp 12926 df-ico 13281 df-fz 13436 df-fzo 13579 df-seq 13918 df-exp 13979 df-cj 14997 df-re 14998 df-im 14999 df-sqrt 15133 df-abs 15134 df-dvds 16149 df-prm 16560 df-iccp 45708 df-even 45920 df-odd 45921 df-gbe 46042

This theorem is referenced by: bgoldbtbnd 46103

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