bgoldbtbndlem4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem4 47806

Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 47807. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbnd.r	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝐷,𝑝,𝑞,𝑟 𝐹,𝑝,𝑞,𝑟 𝐼,𝑝,𝑞,𝑟 𝑛,𝑁 𝑋,𝑝,𝑞,𝑟 𝜑,𝑝,𝑞,𝑟 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝) 𝑁(𝑟,𝑞,𝑝) 𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝜑)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ Odd )
3		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝐼 ∈ (1..^𝐷))
4		bgoldbtbnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
5		bgoldbtbnd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
6		bgoldbtbnd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
7		bgoldbtbnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
8		bgoldbtbnd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
9		bgoldbtbnd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
10		bgoldbtbnd.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
11		bgoldbtbnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
12		bgoldbtbnd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	bgoldbtbndlem2 47804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
16		breq2 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
17		breq1 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁 ↔ 𝑚 < 𝑁))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)))
19		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
20	18, 19	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
21	20	cbvralvw 3207	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
22		breq2 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23		breq1 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
24	22, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
25		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
26	24, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
27	26	rspcv 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
28	21, 27	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven )))
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ))
30		isgbe 47749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))))
31		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
32	31	ralimi 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
33		elfzo1 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷))
34		nnm1nn0 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ ℕ₀))
38		eluz3nn 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
39	38	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ))
40		elfzo2 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
41		eluzelre 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	ltm1d 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) < 𝐼)
44		1red 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
45	42, 44	resubcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
46		zre 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℝ)
48		lttr 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐼 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
49	45, 42, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) < 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
50	43, 49	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐷 → (𝐼 − 1) < 𝐷))
51	50	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
52	40, 51	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) < 𝐷))
54	37, 39, 53	3jcad 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
55	7, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
57		elfzo0 13591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 1) < 𝐷))
58	56, 57	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
59		fveq2 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
60	59	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	60	rspcv 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
63		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
64	62, 63	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
65	64	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
66	65	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)))
68	9, 67	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ))
70	69	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
73		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
74	73	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
75		oveq2 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
76	75	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
77	74, 76	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹‘(𝐼 − 1))) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
79		oddprmALTV 47685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
80	62, 79	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
81	80	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
82	81	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
83	32, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )))
84	9, 83	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
86	85	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
87	86	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
88		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
89	87, 88	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
90		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
91	89, 90	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
92		oddz 47629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℂ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → 𝑋 ∈ ℂ)
95	94	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 ∈ ℂ)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
97		prmz 16573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
98	97	zcnd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
99	63, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
100	62, 99	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
101	100	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
102	101	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
103	32, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)))
104	9, 103	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
105	104	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ))
106	105	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
107	106	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
109	96, 108	npcand 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = 𝑋)
110		oveq1 7347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) + (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
111	109, 110	sylan9req 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
112	111	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
114	113	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
115	114	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1))))
116	91, 115	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
117	72, 78, 116	rspcedvd 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
118	117	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
119	118	reximdva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
120	119	reximdva 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
121	120	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
122	121	com25 99	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
123	122	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
124	30, 123	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
125	124	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
126	29, 125	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
127	126	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
128	127	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
129	28, 128	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
130	129	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
131	130	3impib 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
132	131	com15 101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
133	6, 132	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝑋 ∈ Odd → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
134	133	imp31 417	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (((𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even ∧ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
135	15, 134	syld 47	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑋 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 ∖ cdif 3896 {csn 4573 class class class wbr 5088 ‘cfv 6476 (class class class)co 7340 ℂcc 10995 ℝcr 10996 0cc0 10997 1c1 10998 + caddc 11000 < clt 11137 ≤ cle 11138 − cmin 11335 ℕcn 12116 2c2 12171 3c3 12172 4c4 12173 7c7 12176 ℕ₀cn0 12372 ℤcz 12459 cdc 12579 ℤ_≥cuz 12723 [,)cico 13238 ..^cfzo 13545 ℙcprime 16569 RePartciccp 47411 Even ceven 47622 Odd codd 47623 GoldbachEven cgbe 47743

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5367 ax-un 7662 ax-cnex 11053 ax-resscn 11054 ax-1cn 11055 ax-icn 11056 ax-addcl 11057 ax-addrcl 11058 ax-mulcl 11059 ax-mulrcl 11060 ax-mulcom 11061 ax-addass 11062 ax-mulass 11063 ax-distr 11064 ax-i2m1 11065 ax-1ne0 11066 ax-1rid 11067 ax-rnegex 11068 ax-rrecex 11069 ax-cnre 11070 ax-pre-lttri 11071 ax-pre-lttrn 11072 ax-pre-ltadd 11073 ax-pre-mulgt0 11074 ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3393 df-v 3435 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4940 df-br 5089 df-opab 5151 df-mpt 5170 df-tr 5196 df-id 5508 df-eprel 5513 df-po 5521 df-so 5522 df-fr 5566 df-we 5568 df-xp 5619 df-rel 5620 df-cnv 5621 df-co 5622 df-dm 5623 df-rn 5624 df-res 5625 df-ima 5626 df-pred 6243 df-ord 6304 df-on 6305 df-lim 6306 df-suc 6307 df-iota 6432 df-fun 6478 df-fn 6479 df-f 6480 df-f1 6481 df-fo 6482 df-f1o 6483 df-fv 6484 df-riota 7297 df-ov 7343 df-oprab 7344 df-mpo 7345 df-om 7791 df-1st 7915 df-2nd 7916 df-frecs 8205 df-wrecs 8236 df-recs 8285 df-rdg 8323 df-1o 8379 df-2o 8380 df-er 8616 df-map 8746 df-en 8864 df-dom 8865 df-sdom 8866 df-fin 8867 df-sup 9320 df-pnf 11139 df-mnf 11140 df-xr 11141 df-ltxr 11142 df-le 11143 df-sub 11337 df-neg 11338 df-div 11766 df-nn 12117 df-2 12179 df-3 12180 df-4 12181 df-n0 12373 df-z 12460 df-uz 12724 df-rp 12882 df-ico 13242 df-fz 13399 df-fzo 13546 df-seq 13897 df-exp 13957 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-dvds 16151 df-prm 16570 df-iccp 47412 df-even 47624 df-odd 47625 df-gbe 47746

This theorem is referenced by: bgoldbtbnd 47807

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