gpg5nbgrvtx03starlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx03starlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 48033

Description: Lemma 2 for gpg5nbgrvtx03star 48044. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1modnep2mod 47326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
2	1	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
3		zcn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
5		add1p1 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
7	6	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
8	2, 7	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
9		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
13		eluz4nn 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
16		modaddmod 13850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
17	12, 11, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
18	8, 17	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
19	18	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
20		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
21	20	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
23	19, 22	neeqtrd 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
24	23	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
26		orc 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
27	26	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
28	25, 27	pm2.61ine 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
29		c0ex 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
30		ovex 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ∈ V
31	29, 30	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
32		neirr 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
33	32	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
34	31, 33	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
36		ovex 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ∈ V
37	29, 36	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
38	32	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
39	37, 38	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
41	35, 40	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
42	28, 41	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
43		uzuzle24 12820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
44	43	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
45	44	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
46		zp1modne 47320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
48		npcan1 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
49	4, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
50	49	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁) = (𝑋 mod 𝑁))
51	47, 50	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
52	10, 11	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
53		modaddmod 13850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
54	52, 11, 15, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
55	51, 54	neeqtrrd 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
56	55	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
57		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
58	57	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
60	56, 59	neeqtrd 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
61	60	orcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
62	61	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
63		olc 868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
64	63	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
65	62, 64	pm2.61ine 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
66	29, 30	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
67	32	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
68	66, 67	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
70	29, 36	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
71	32	biorfi 938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
72	70, 71	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
74	69, 73	orbi12d 918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
75	65, 74	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
76		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
77		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
78	76, 77	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
79		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
80		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
81	79, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
82	78, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
83		prneimg2 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
84	82, 83	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
85	42, 75, 84	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
86		0ne1 12233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
87	86	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
88	29, 36	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
89	87, 88	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
90	89	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
91	86	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
92	29, 30	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
93	91, 92	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
94	93	orci 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
95	90, 94	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
97		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
98	79, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
99	78, 98	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
100		prneimg2 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
101	99, 100	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
102	96, 101	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
103		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
104	97, 103	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
105	78, 104	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
106	86	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
107	29, 30	opthne 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
108	106, 107	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩
109	93, 108	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
111	110	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
112		prneimg 4814	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
113	105, 111, 112	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
114	85, 102, 113	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
115	114	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
116		ralnex 3055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
117		3ioran 1105	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
118		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
119		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
120		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
121	118, 119, 120	3anbi123i 1155	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
122	117, 121	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
123	122	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
124	116, 123	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
125	115, 124	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
126		uzuzle34 12821	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
127		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
128		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
129		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
130		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
131	127, 128, 129, 130	gpgedgel 48014	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
132	126, 131	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
133	132	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134	125, 133	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
135		df-nel 3030	. 2 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
136	134, 135	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∉ wnel 3029 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 Vcvv 3444 {cpr 4587 ⟨cop 4591 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 − cmin 11381 / cdiv 11811 2c2 12217 3c3 12218 4c4 12219 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ℝ⁺crp 12927 ..^cfzo 13591 ⌈cceil 13729 mod cmo 13807 Vtxcvtx 28899 Edgcedg 28950 gPetersenGr cgpg 48004

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-oadd 8415 df-er 8648 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9369 df-inf 9370 df-dju 9830 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-xnn0 12492 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-rp 12928 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-hash 14272 df-dvds 16199 df-struct 17093 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-edgf 28892 df-iedg 28902 df-edg 28951 df-gpg 48005

This theorem is referenced by: gpg5nbgrvtx03star 48044

W3C validator