gpg5nbgrvtx03starlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx03starlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 48560

Description: Lemma 2 for gpg5nbgrvtx03star 48571. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1modnep2mod 47821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
2	1	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
3		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
5		add1p1 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
7	6	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
8	2, 7	neeqtrrd 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
9		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
13		eluz4nn 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
15	14	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
16		modaddmod 13862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
17	12, 11, 15, 16	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
18	8, 17	neeqtrrd 3008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
19	18	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
20		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
21	20	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
23	19, 22	neeqtrd 3003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
24	23	olcd 880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
25	24	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
26		orc 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
27	26	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
28	25, 27	pm2.61ine 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
29		c0ex 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
30		ovex 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ∈ V
31	29, 30	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
32		neirr 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
33	32	biorfi 944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
34	31, 33	bitr4i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
36		ovex 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ∈ V
37	29, 36	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
38	32	biorfi 944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
39	37, 38	bitr4i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
41	35, 40	orbi12d 924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
42	28, 41	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
43		uzuzle24 12826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
44	43	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
45	44	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
46		zp1modne 47815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
48		npcan1 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
49	4, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
50	49	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁) = (𝑋 mod 𝑁))
51	47, 50	neeqtrrd 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
52	10, 11	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
53		modaddmod 13862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
54	52, 11, 15, 53	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
55	51, 54	neeqtrrd 3008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
56	55	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
57		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
58	57	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
60	56, 59	neeqtrd 3003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
61	60	orcd 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
62	61	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
63		olc 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
64	63	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
65	62, 64	pm2.61ine 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
66	29, 30	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
67	32	biorfi 944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
68	66, 67	bitr4i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
70	29, 36	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
71	32	biorfi 944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
72	70, 71	bitr4i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
74	69, 73	orbi12d 924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
75	65, 74	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
76		opex 5403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
77		opex 5403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
78	76, 77	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
79		opex 5403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
80		opex 5403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
81	79, 80	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
82	78, 81	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
83		prneimg2 4786	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
84	82, 83	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
85	42, 75, 84	mpbir2and 719	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
86		0ne1 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
87	86	orci 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
88	29, 36	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
89	87, 88	mpbir 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
90	89	olci 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
91	86	orci 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
92	29, 30	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
93	91, 92	mpbir 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
94	93	orci 871	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
95	90, 94	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
97		opex 5403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
98	79, 97	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
99	78, 98	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
100		prneimg2 4786	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
101	99, 100	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
102	96, 101	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
103		opex 5403	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
104	97, 103	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
105	78, 104	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
106	86	orci 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
107	29, 30	opthne 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
108	106, 107	mpbir 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩
109	93, 108	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
111	110	orcd 879	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
112		prneimg 4785	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
113	105, 111, 112	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
114	85, 102, 113	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
115	114	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
116		ralnex 3065	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
117		3ioran 1111	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
118		df-ne 2935	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
119		df-ne 2935	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
120		df-ne 2935	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
121	118, 119, 120	3anbi123i 1161	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
122	117, 121	bitr4i 279	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
123	122	ralbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
124	116, 123	bitr3i 278	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
125	115, 124	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
126		uzuzle34 12827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
127		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
128		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
129		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
130		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
131	127, 128, 129, 130	gpgedgel 48541	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
132	126, 131	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
133	132	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134	125, 133	mtbird 326	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
135		df-nel 3039	. 2 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
136	134, 135	sylibr 235	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 ∨ w3o 1091 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 ∉ wnel 3038 ∀wral 3053 ∃wrex 3063 Vcvv 3431 {cpr 4557 ⟨cop 4561 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 − cmin 11368 / cdiv 11798 2c2 12227 3c3 12228 4c4 12229 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℝ⁺crp 12933 ..^cfzo 13599 ⌈cceil 13741 mod cmo 13819 Vtxcvtx 29083 Edgcedg 29134 gPetersenGr cgpg 48531

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-rep 5199 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-op 4562 df-uni 4839 df-int 4878 df-iun 4923 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-oadd 8399 df-er 8633 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-dju 9816 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-xnn0 12502 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-rp 12934 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-mod 13820 df-hash 14284 df-dvds 16213 df-struct 17108 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-edgf 29076 df-iedg 29086 df-edg 29135 df-gpg 48532

This theorem is referenced by: gpg5nbgrvtx03star 48571

W3C validator