gpg5nbgrvtx03starlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > gpg5nbgrvtx03starlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 48986

Description: Lemma 2 for gpg5nbgrvtx03star 48997. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx03starlem2 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1modnep2mod 48247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
2	1	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
3		zcn 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
5		add1p1 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) + 1) = (𝑋 + 2))
7	6	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 2) mod 𝑁))
8	2, 7	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
9		zre 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		1red 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
13		eluz4nn 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 13085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
16		modaddmod 13974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
17	12, 11, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 + 1) + 1) mod 𝑁))
18	8, 17	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
19	18	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
20		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
21	20	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
23	19, 22	neeqtrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
24	23	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
25	24	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
26		orc 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
28	25, 27	pm2.61ine 3038	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
29		c0ex 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
30		ovex 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ∈ V
31	29, 30	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
32		neirr 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
33	32	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
34	31, 33	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
36		ovex 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ∈ V
37	29, 36	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
38	32	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
39	37, 38	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
41	35, 40	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
42	28, 41	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
43		uzuzle24 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
44	43	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
45	44	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
46		zp1modne 48241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (𝑋 mod 𝑁))
48		npcan1 11664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
49	4, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
50	49	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁) = (𝑋 mod 𝑁))
51	47, 50	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
52	10, 11	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
53		modaddmod 13974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
54	52, 11, 15, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = (((𝑋 − 1) + 1) mod 𝑁))
55	51, 54	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
56	55	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
57		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) = (𝑥 + 1))
58	57	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) + 1) mod 𝑁) = ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
60	56, 59	neeqtrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
61	60	orcd 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
62	61	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
63		olc 882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
64	63	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
65	62, 64	pm2.61ine 3038	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
66	29, 30	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
67	32	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
68	66, 67	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
70	29, 36	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
71	32	biorfi 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
72	70, 71	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
74	69, 73	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)))
75	65, 74	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
76		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
77		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
78	76, 77	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
79		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
80		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
81	79, 80	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
82	78, 81	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
83		prneimg2 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
84	82, 83	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
85	42, 75, 84	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
86		0ne1 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
87	86	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
88	29, 36	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
89	87, 88	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
90	89	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
91	86	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
92	29, 30	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
93	91, 92	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
94	93	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
95	90, 94	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
97		opex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
98	79, 97	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
99	78, 98	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
100		prneimg2 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
101	99, 100	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
102	96, 101	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
103		opex 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
104	97, 103	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
105	78, 104	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
106	86	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
107	29, 30	opthne 5458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
108	106, 107	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩
109	93, 108	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
111	110	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
112		prneimg 4814	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
113	105, 111, 112	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
114	85, 102, 113	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
115	114	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
116		ralnex 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
117		3ioran 1123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
118		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
119		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
120		df-ne 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
121	118, 119, 120	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
122	117, 121	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
123	122	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
124	116, 123	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
125	115, 124	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
126		uzuzle34 12936	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
127		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
128		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
129		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
130		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
131	127, 128, 129, 130	gpgedgel 48967	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
132	126, 131	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
133	132	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
134	125, 133	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
135		df-nel 3062	. 2 ⊢ ({⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
136	134, 135	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → {⟨0, ((𝑋 + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∉ wnel 3061 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 Vcvv 3450 {cpr 4586 ⟨cop 4590 ‘cfv 6533 (class class class)co 7414 ℂcc 11123 ℝcr 11124 0cc0 11125 1c1 11126 + caddc 11128 − cmin 11466 / cdiv 11896 2c2 12320 3c3 12321 4c4 12322 ℤcz 12616 ℤ_≥cuz 12888 ℝ⁺crp 13043 ..^cfzo 13710 ⌈cceil 13853 mod cmo 13931 Vtxcvtx 29454 Edgcedg 29505 gPetersenGr cgpg 48957

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201 ax-pre-mulgt0 11202 ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8361 df-rdg 8400 df-1o 8456 df-oadd 8460 df-er 8697 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-sup 9413 df-inf 9414 df-dju 9907 df-card 9945 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-le 11274 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11897 df-nn 12259 df-2 12328 df-3 12329 df-4 12330 df-5 12331 df-6 12332 df-7 12333 df-8 12334 df-9 12335 df-n0 12530 df-xnn0 12603 df-z 12617 df-dec 12738 df-uz 12889 df-rp 13044 df-fz 13563 df-fzo 13711 df-fl 13854 df-mod 13932 df-hash 14396 df-dvds 16344 df-struct 17240 df-slot 17275 df-ndx 17287 df-base 17303 df-edgf 29447 df-iedg 29457 df-edg 29506 df-gpg 48958

This theorem is used by: gpg5nbgrvtx03star 48997

W3C validator