Theorem mendvsca 43175

Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
mendvsca.w	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mendvsca	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem mendvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4640	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2	1	xpeq2d 5718	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐸 × {𝑥}) = (𝐸 × {𝑋}))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
4	2, 3	oveqan12d 7449	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
5		mendvsca.w	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		mendvscafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
7		mendvscafval.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
8		mendvscafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		mendvscafval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		mendvscafval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		mendvscafval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	mendvscafval 43174	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
13	5, 12	eqtri 2762	. 2 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
14		ovex 7463	. 2 ⊢ ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ V
15	4, 13, 14	ovmpoa 7587	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {csn 4630   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ∘_f cof 7694  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  MEndocmend 43159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-lmhm 21038  df-mend 43160

This theorem is referenced by:  mendlmod  43177  mendassa  43178