Theorem mendvsca 43765

Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
mendvsca.w	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mendvsca	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem mendvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4593	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2	1	xpeq2d 5678	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐸 × {𝑥}) = (𝐸 × {𝑋}))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
4	2, 3	oveqan12d 7416	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
5		mendvsca.w	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		mendvscafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
7		mendvscafval.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
8		mendvscafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		mendvscafval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		mendvscafval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		mendvscafval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	mendvscafval 43764	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
13	5, 12	eqtri 2786	. 2 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
14		ovex 7430	. 2 ⊢ ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ V
15	4, 13, 14	ovmpoa 7552	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {csn 4583   × cxp 5646  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ∈ cmpo 7399   ∘_f cof 7659  Basecbs 17246  Scalarcsca 17290   ·_𝑠 cvsca 17291  MEndocmend 43749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-lmhm 21090  df-mend 43750

This theorem is referenced by:  mendlmod  43767  mendassa  43768