Theorem mendvsca 44189

Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
mendvsca.w	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mendvsca	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem mendvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4593	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2	1	xpeq2d 5680	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐸 × {𝑥}) = (𝐸 × {𝑋}))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
4	2, 3	oveqan12d 7439	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
5		mendvsca.w	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		mendvscafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
7		mendvscafval.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
8		mendvscafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		mendvscafval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		mendvscafval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		mendvscafval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	mendvscafval 44188	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
13	5, 12	eqtri 2783	. 2 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
14		ovex 7453	. 2 ⊢ ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ V
15	4, 13, 14	ovmpoa 7575	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4583   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  MEndocmend 44173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-lmhm 21297  df-mend 44174

This theorem is used by:  mendlmod  44191  mendassa  44192