Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvsca 39781
 Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v · = ( ·𝑠𝑀)
mendvscafval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e 𝐸 = (Base‘𝑀)
mendvsca.w = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
mendvsca ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem mendvsca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4569 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
21xpeq2d 5578 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝐸 × {𝑥}) = (𝐸 × {𝑋}))
3 id 22 . . 3 (𝑦 = 𝑌𝑦 = 𝑌)
42, 3oveqan12d 7167 . 2 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
5 mendvsca.w . . 3 = ( ·𝑠𝐴)
6 mendvscafval.a . . . 4 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
7 mendvscafval.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝑀)
8 mendvscafval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 mendvscafval.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10 mendvscafval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑆)
11 mendvscafval.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑀)
126, 7, 8, 9, 10, 11mendvscafval 39780 . . 3 ( ·𝑠𝐴) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
135, 12eqtri 2842 . 2 = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
14 ovex 7181 . 2 ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ V
154, 13, 14ovmpoa 7297 1 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {csn 4559   × cxp 5546  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150   ∘f cof 7399  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  MEndocmend 39765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-lmhm 19786  df-mend 39766 This theorem is referenced by:  mendlmod  39783  mendassa  39784
 Copyright terms: Public domain W3C validator