Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvsca 41561
Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
mendvscafval.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
mendvscafval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
mendvscafval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
mendvscafval.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
mendvsca.w βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
mendvsca ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ™ π‘Œ) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))

Proof of Theorem mendvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4597 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
21xpeq2d 5664 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐸 Γ— {π‘₯}) = (𝐸 Γ— {𝑋}))
3 id 22 . . 3 (𝑦 = π‘Œ β†’ 𝑦 = π‘Œ)
42, 3oveqan12d 7377 . 2 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))
5 mendvsca.w . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π΄)
6 mendvscafval.a . . . 4 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
7 mendvscafval.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
8 mendvscafval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 mendvscafval.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
10 mendvscafval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
11 mendvscafval.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
126, 7, 8, 9, 10, 11mendvscafval 41560 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
135, 12eqtri 2761 . 2 βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
14 ovex 7391 . 2 ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) ∈ V
154, 13, 14ovmpoa 7511 1 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ™ π‘Œ) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  MEndocmend 41545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-lmhm 20498  df-mend 41546
This theorem is referenced by:  mendlmod  41563  mendassa  41564
  Copyright terms: Public domain W3C validator