Theorem mendvsca 43290

Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
mendvsca.w	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mendvsca	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem mendvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4583	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2	1	xpeq2d 5644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐸 × {𝑥}) = (𝐸 × {𝑋}))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑦 = 𝑌)
4	2, 3	oveqan12d 7365	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))
5		mendvsca.w	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		mendvscafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
7		mendvscafval.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
8		mendvscafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		mendvscafval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		mendvscafval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		mendvscafval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	mendvscafval 43289	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
13	5, 12	eqtri 2754	. 2 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
14		ovex 7379	. 2 ⊢ ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) ∈ V
15	4, 13, 14	ovmpoa 7501	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝑌) = ((𝐸 × {𝑋}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ∘_f cof 7608  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  MEndocmend 43274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-lmhm 20956  df-mend 43275

This theorem is referenced by:  mendlmod  43292  mendassa  43293