Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvsca 42664
Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
mendvscafval.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
mendvscafval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
mendvscafval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
mendvscafval.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
mendvsca.w βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
mendvsca ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ™ π‘Œ) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))

Proof of Theorem mendvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4642 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
21xpeq2d 5712 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐸 Γ— {π‘₯}) = (𝐸 Γ— {𝑋}))
3 id 22 . . 3 (𝑦 = π‘Œ β†’ 𝑦 = π‘Œ)
42, 3oveqan12d 7445 . 2 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))
5 mendvsca.w . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π΄)
6 mendvscafval.a . . . 4 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
7 mendvscafval.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
8 mendvscafval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 mendvscafval.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
10 mendvscafval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
11 mendvscafval.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
126, 7, 8, 9, 10, 11mendvscafval 42663 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
135, 12eqtri 2756 . 2 βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
14 ovex 7459 . 2 ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) ∈ V
154, 13, 14ovmpoa 7583 1 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ™ π‘Œ) = ((𝐸 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4632   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ∘f cof 7690  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  MEndocmend 42648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-lmhm 20921  df-mend 42649
This theorem is referenced by:  mendlmod  42666  mendassa  42667
  Copyright terms: Public domain W3C validator