Theorem mendvscafval 43540

Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mendvscafval	⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendvscafval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2	1	fveq2i 6845	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀))
3		mendvscafval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1	mendbas 43534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))
8		mendvscafval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
9		mendvscafval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = 𝐵
11		mendvscafval.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	11	xpeq1i 5658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 × {𝑥}) = ((Base‘𝑀) × {𝑥})
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 = 𝑦
14		mendvscafval.v	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
15		ofeq 7635	. . . . . . . . 9 ⊢ ( · = ( ·𝑠 ‘𝑀) → ∘f · = ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∘f · = ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)
17	12, 13, 16	oveq123i 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)
18	9, 10, 17	mpoeq123i 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
19	5, 6, 7, 8, 18	mendval 43533	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}))
20	19	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
21	9	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	3	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	21, 22	mpoex 8033	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})
25	24	algvsca 43532	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
26	23, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
27	20, 26	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
28		fvprc 6834	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
29	28	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘∅))
30		vscaid 17252	. . . . . 6 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
31	30	str0 17128	. . . . 5 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
32	29, 31	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ∅)
33		fvprc 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Scalar‘𝑀) = ∅)
34	8, 33	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝑆 = ∅)
35	34	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
36		base0 17153	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
37	35, 9, 36	3eqtr4g 2797	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐾 = ∅)
38	37	orcd 874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
39		0mpo0 7451	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
41	32, 40	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
42	27, 41	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
43	2, 42	eqtri 2760	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  ⟨cop 4588   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ∘_f cof 7630  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193   LMHom clmhm 20983  MEndocmend 43525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-lmhm 20986  df-mend 43526

This theorem is referenced by:  mendvsca  43541