Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvscafval 43175
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v · = ( ·𝑠𝑀)
mendvscafval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e 𝐸 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval ( ·𝑠𝐴) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
21fveq2i 6910 . 2 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀))
3 mendvscafval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
41mendbas 43169 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
53, 4eqtr4i 2766 . . . . . 6 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))
7 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
8 mendvscafval.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
9 mendvscafval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2735 . . . . . . 7 𝐵 = 𝐵
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘𝑀)
1211xpeq1i 5715 . . . . . . . 8 (𝐸 × {𝑥}) = ((Base‘𝑀) × {𝑥})
13 eqid 2735 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑦
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑀)
15 ofeq 7700 . . . . . . . . 9 ( · = ( ·𝑠𝑀) → ∘f · = ∘f ( ·𝑠𝑀))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 f · = ∘f ( ·𝑠𝑀)
1712, 13, 16oveq123i 7445 . . . . . . 7 ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦)
189, 10, 17mpoeq123i 7509 . . . . . 6 (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))
195, 6, 7, 8, 18mendval 43168 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}))
2019fveq2d 6911 . . . 4 (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
219fvexi 6921 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
223fvexi 6921 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2321, 22mpoex 8103 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V
24 eqid 2735 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})
2524algvsca 43167 . . . . 5 ((𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
2623, 25mp1i 13 . . . 4 (𝑀 ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
2720, 26eqtr4d 2778 . . 3 (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
28 fvprc 6899 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
2928fveq2d 6911 . . . . 5 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘∅))
30 vscaid 17366 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
3130str0 17223 . . . . 5 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
3229, 31eqtr4di 2793 . . . 4 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ∅)
33 fvprc 6899 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V → (Scalar‘𝑀) = ∅)
348, 33eqtrid 2787 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V → 𝑆 = ∅)
3534fveq2d 6911 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
36 base0 17250 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
3735, 9, 363eqtr4g 2800 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → 𝐾 = ∅)
3837orcd 873 . . . . 5 𝑀 ∈ V → (𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
39 0mpo0 7516 . . . . 5 ((𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
4038, 39syl 17 . . . 4 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
4132, 40eqtr4d 2778 . . 3 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
4227, 41pm2.61i 182 . 2 ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
432, 42eqtri 2763 1 ( ·𝑠𝐴) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637   × cxp 5687  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302   LMHom clmhm 21036  MEndocmend 43160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-lmhm 21039  df-mend 43161
This theorem is referenced by:  mendvsca  43176
  Copyright terms: Public domain W3C validator