Theorem mendvscafval 44035

Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendvscafval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
mendvscafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mendvscafval	⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   · (𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mendvscafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendvscafval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀))
3		mendvscafval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1	mendbas 44029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
5	3, 4	eqtr4i 2788	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))
8		mendvscafval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
9		mendvscafval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = 𝐵
11		mendvscafval.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
12	11	xpeq1i 5685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 × {𝑥}) = ((Base‘𝑀) × {𝑥})
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 = 𝑦
14		mendvscafval.v	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
15		ofeq 7685	. . . . . . . . 9 ⊢ ( · = ( ·𝑠 ‘𝑀) → ∘f · = ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∘f · = ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)
17	12, 13, 16	oveq123i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦) = (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)
18	9, 10, 17	mpoeq123i 7493	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
19	5, 6, 7, 8, 18	mendval 44028	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}))
20	19	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
21	9	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	3	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	21, 22	mpoex 8082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V
24		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})
25	24	algvsca 44027	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
26	23, 25	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))⟩})))
27	20, 26	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
28		fvprc 6874	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
29	28	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘∅))
30		vscaid 17411	. . . . . 6 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
31	30	str0 17287	. . . . 5 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
32	29, 31	eqtr4di 2815	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ∅)
33		fvprc 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Scalar‘𝑀) = ∅)
34	8, 33	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝑆 = ∅)
35	34	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
36		base0 17312	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
37	35, 9, 36	3eqtr4g 2822	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐾 = ∅)
38	37	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
39		0mpo0 7500	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
40	38, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)) = ∅)
41	32, 40	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦)))
42	27, 41	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))
43	2, 42	eqtri 2785	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘f · 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ∘_f cof 7680  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352   LMHom clmhm 21209  MEndocmend 44020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-lmhm 21212  df-mend 44021

This theorem is used by:  mendvsca  44036