Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvscafval 41918
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
mendvscafval.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
mendvscafval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
mendvscafval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
mendvscafval.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval ( ·𝑠 β€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
21fveq2i 6892 . 2 ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€))
3 mendvscafval.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
41mendbas 41912 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄)
53, 4eqtr4i 2764 . . . . . 6 𝐡 = (𝑀 LMHom 𝑀)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))
7 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
8 mendvscafval.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
9 mendvscafval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2733 . . . . . . 7 𝐡 = 𝐡
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Baseβ€˜π‘€)
1211xpeq1i 5702 . . . . . . . 8 (𝐸 Γ— {π‘₯}) = ((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯})
13 eqid 2733 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑦
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
15 ofeq 7670 . . . . . . . . 9 ( Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€) β†’ ∘f Β· = ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 ∘f Β· = ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)
1712, 13, 16oveq123i 7420 . . . . . . 7 ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦) = (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)
189, 10, 17mpoeq123i 7482 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
195, 6, 7, 8, 18mendval 41911 . . . . 5 (𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩}))
2019fveq2d 6893 . . . 4 (𝑀 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩})))
219fvexi 6903 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
223fvexi 6903 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2321, 22mpoex 8063 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) ∈ V
24 eqid 2733 . . . . . 6 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩})
2524algvsca 41910 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩})))
2623, 25mp1i 13 . . . 4 (𝑀 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘†βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))⟩})))
2720, 26eqtr4d 2776 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)))
28 fvprc 6881 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = βˆ…)
2928fveq2d 6893 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = ( ·𝑠 β€˜βˆ…))
30 vscaid 17262 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx)
3130str0 17119 . . . . 5 βˆ… = ( ·𝑠 β€˜βˆ…)
3229, 31eqtr4di 2791 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = βˆ…)
33 fvprc 6881 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = βˆ…)
348, 33eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝑆 = βˆ…)
3534fveq2d 6893 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
36 base0 17146 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3735, 9, 363eqtr4g 2798 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
3837orcd 872 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (𝐾 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…))
39 0mpo0 7489 . . . . 5 ((𝐾 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) = βˆ…)
4038, 39syl 17 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)) = βˆ…)
4132, 40eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦)))
4227, 41pm2.61i 182 . 2 ( ·𝑠 β€˜(MEndoβ€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
432, 42eqtri 2761 1 ( ·𝑠 β€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐸 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ∘f cof 7665  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  .rcmulr 17195  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198   LMHom clmhm 20623  MEndocmend 41903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-lmhm 20626  df-mend 41904
This theorem is referenced by:  mendvsca  41919
  Copyright terms: Public domain W3C validator