Theorem metcn 24661

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon" 𝑦 there is a positive "delta" 𝑧 such that a distance less than delta in 𝐶 maps to a distance less than epsilon in 𝐷. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcn	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2	1	mopntopon 24557	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		metcn.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24557	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		cncnp 23398	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
6	2, 4, 5	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
7		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
8	1, 3	metcnp 24659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
9	8	ad4ant124 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
10	7, 9	mpbirand 719	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
11	10	ralbidva 3186	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
12	11	pm5.32da 589	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
13	6, 12	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   < clt 11231  ℝ⁺crp 13007  ∞Metcxmet 21467  MetOpencmopn 21472  TopOnctopon 23028   Cn ccn 23342   CnP ccnp 23343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cn 23345  df-cnp 23346

This theorem is referenced by:  nrginvrcn  24810  nghmcn  24863  metdscn  24975  divcn  24988  cncfmet  25029  nmcvcn  30956  blocni  31066  hhcno  32165  hhcnf  32166  fmcncfil  34238  heicant  38166