Theorem mirleqb 29043

Description: Equality theorem for point mirroring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirleqb.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirleqb.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirleqb.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirleqb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirleqb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirleqb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirleqb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirleqb	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mirleqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirleqb.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		mirleqb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
9		mirleqb.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
10		mirleqb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		mirleqb.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
12		mirleqb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12	mircl 29010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15		mirleqb.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 15	mircl 29010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
18	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12, 15	miriso 29019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋)(dist‘𝐺)(𝑀‘𝑌)) = (𝑋(dist‘𝐺)𝑌))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋)(dist‘𝐺)(𝑀‘𝑌)) = (𝑋(dist‘𝐺)𝑌))
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
23	3, 4, 5, 7, 14, 17, 18, 19, 21, 22	tgcgreq 28821	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
24	2, 23	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  pInvGcmir 29001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkg 28792  df-mir 29002

This theorem is used by:  mirlni  29044  prlngsymquadlem  29306