Theorem mirleqb 29099

Description: Equality theorem for point mirroring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirleqb.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirleqb.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirleqb.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirleqb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirleqb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirleqb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirleqb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirleqb	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mirleqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6873	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirleqb.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		mirleqb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
9		mirleqb.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
10		mirleqb.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		mirleqb.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
12		mirleqb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12	mircl 29066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15		mirleqb.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 15	mircl 29066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
18	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	3, 4, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12, 15	miriso 29075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋)(dist‘𝐺)(𝑀‘𝑌)) = (𝑋(dist‘𝐺)𝑌))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → ((𝑀‘𝑋)(dist‘𝐺)(𝑀‘𝑌)) = (𝑋(dist‘𝐺)𝑌))
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
23	3, 4, 5, 7, 14, 17, 18, 19, 21, 22	tgcgreq 28877	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
24	2, 23	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  distcds 17398  TarskiGcstrkg 28822  Itvcitv 28828  LineGclng 28829  pInvGcmir 29057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-hash 14442  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkg 28848  df-mir 29058

This theorem is used by:  mirlni  29100  prlngsymquadlem  29374